sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit une fonction r définie sur $\left[0;12\right]$ par $r\left(x\right)=\left(900x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}$.

A) ÉTUDE D'UNE FONCTION f

1. On considère la fonction f définie sur $]0;12]$ par $f\left(x\right)=\ln [r\left(x\right)]$.
   Démontrer que $f\left(x\right)=\ln \left(900\right)+\ln x-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)$.

   f est la fonction définie sur $]0;12]$ par $f\left(x\right)=\ln [r\left(x\right)]$ d'où pour tout réel x de l'intervalle $]0;12]$, $$\begin{array}{llll}f\left(x\right)& =& \ln [\left(900x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}]& \\ & =& \ln \left(900\right)+\ln x+\ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}\right)& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{ strictement positifs, }\ln ab=\ln a+\ln b\\ & =& \ln \left(900\right)+\ln x-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)& \text{Pour tout réel }x\text{ , }\ln {\mathrm{e}}^x=x\end{array}$$

   Ainsi pour tout réel x de l'intervalle $]0;12]$, $f\left(x\right)=\ln \left(900\right)+\ln x-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)$.

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2. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f, démontrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{10-x}{10x}}$.

   La fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle $]0;12]$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables et :$$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x}}-\mathrm{0,1}\\ & =& {\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,1}x}{x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{10-x}{10x}}\end{array}$$

   Pour tout réel x de l'intervalle $]0;12]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{10-x}{10x}}$.

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3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ pour tout x de $]0;12]$ puis dresser le tableau de variations de f sur $]0;12]$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $]0;12]$, $10x>0$ et $10-x<0\iff x>10$.

   Les variations de f se déduisent du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $]0;12]$.

   D'autre part, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln \left(900\right)-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)=\ln \left(900\right)+\mathrm{0,2}$ donc par somme $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

   D'où le tableau des variations de f :

   x	0			10		12
   Signe de $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f		$-\infty$		$f\left(10\right)$		$f\left(12\right)$

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4. On désigne par $r\prime$ la fonction dérivée de r, exprimer $f\prime$ en fonction de $r\prime$ et de r puis justifier que $r\prime \left(x\right)$ et $f\prime \left(x\right)$ ont le même signe pour tout x de $]0;12]$.

   f est la composée de la fonction r suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

   Pour tout x de $]0;12]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{r\prime \left(x\right)}{r\left(x\right)}}$. Soit $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{r\prime \left(x\right)}{\left(900x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}}}$.

   Or pour tout réel x : ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}>0$ donc sur l'intervalle $]0;12]\text{, }r\left(x\right)>0$.

   Ainsi $r\prime \left(x\right)$ et $f\prime \left(x\right)$ ont le même signe pour tout x de $]0;12]$.

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5. En déduire les variations de r sur $]0;12]$.

   $r\prime \left(x\right)$ et $f\prime \left(x\right)$ ont le même signe pour tout x de $]0;12]$, alors les fonctions r et f ont les mêmes variations sur l'intervalle $]0;12]$.

   D'après la 3^e question :

   • Sur $]0;10]$, r est croissante.
   • Sur $[10;12]$, r est décroissante.

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6. Déterminer pour quelle valeur $x_0$ la fonction r atteint un maximum et calculer $r\left(x_0\right)$ arrondi à l'unité près.

   Sur $]0;12]$, la dérivée s'annule en changeant de signe pour x = 10, d'après les variations de r la fonction r atteint un maximum.

   $r\left(10\right)=\left(900\times 10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(10-2\right)}=9000{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}$

   La fonction r admet un maximum pour $x=10$ et l'arrondi à l'unité du maximum de la fonction est 4044.

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B) CALCUL DE LA VALEUR MOYENNE

1. Démontrer que la fonction R définie par $R\left(x\right)=-9000\left(x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}$ est une primitive de la fonction r sur $[0;12]$.

   Dire que R est une primitive de la fonction r sur $[0;12]$, signifie que pour tout réel x de l'intervalle $[0;12]$, $R\prime \left(x\right)=r\left(x\right)$ .

   La fonction R définie pour tout réel x de l'intervalle $[0;12]$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables u et v telles que :

   $u\left(x\right)=-9000\left(x+10\right)$ d'où $u\prime \left(x\right)=-9000$.

   $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}$ d'où $v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}$.

   Par conséquent, $$\begin{array}{lll}R\prime \left(x\right)& =& -9000\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}+[-9000\left(x+10\right)]\times [-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}]\\ & =& -9000\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}+900\left(x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}\\ & =& 900{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}\left(-10+x+10\right)\\ & =& \left(900x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}\end{array}$$

   Pour tout réel x de l'intervalle $[0;12]$, $R\prime \left(x\right)=r\left(x\right)$ alors, la fonction R définie par $R\left(x\right)=-9000\left(x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}$ est une primitive de la fonction r sur $[0;12]$.

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2. Calculer la valeur moyenne $r_m$ de la fonction r sur $[0;12]$ définie par $r_m={\displaystyle \frac{1}{12}}{\displaystyle {\int }_0^{12}r\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
   On donnera d'abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à 10^-2 près.

   $$\begin{array}{lll}{r}_m& =& {\displaystyle \frac{1}{12}}{\displaystyle {\int }_0^{12}r\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{12}}{\displaystyle {\left[-9000\left(x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}\right]}_0^{12}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{12}}[-9000\times 22{\mathrm{e}}^{-1}+9000\times 10{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}}]\\ & =& 1500\left(5{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}}-11{\mathrm{e}}^{-1}\right)\end{array}$$

   La valeur moyenne de la fonction r sur $[0;12]$ est $r_m=1500\left(5{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}}-11{\mathrm{e}}^{-1}\right)$. Soit arrondie à 10^-2 près, $r_m=\mathrm{3090,51}$.

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