Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: amérique du nord

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demande d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse donne 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

questions réponses
 Q1 

Si a ]0;1[ alors lim x+ a x est égale à :

  • 0

  • + ∞

  • - ∞

Q2

Une primitive sur de la fonction xxe x 2 est :

  • xe x 2

  • x2e x 2

  • x12 e x 2

Q3

La dérivée sur ]0;+[ de la fonction xxlnx est :

  • x1x

  • xlnx

  • xlnx+1

Q4

e -2ln5 est égal à :

  • 125

  • - 25

  • 52

Q5

L'équation e x=16 e x admet sur :

  • Aucune solution

  • Une solution

  • Deux solutions

Q6

L'ensemble des solutions de l'inéquation xln0,2 -50 est :

  • [5 ln0,2 ; 0[

  • ]-;5 ln0,2 ]

  • [5 ln0,2 ; +[

Dans les questions 7, 8, 9 et 10 : A et B sont deux évènements d'un univers tels que PA=0,4 , PB=0,3 et PAB=0,2 .

questions réponses
Q7

PAB=

  • 0,1

  • 0,5

  • 0,7

Q8

PA B ¯ =

  • 0,1

  • 0,2

  • 0,4

Q9

PA B ¯ =

  • 0,3

  • 0,5

  • 0,8

Q10

PAB=

  • 23

  • 12

  • 34


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à 10-2 près.

Un site touristique dont le billet d'entrée coûte 4 € propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 € par personne.
Une buvette est installée sur le site. On y vend un seul type de boisson au prix de 2 € l'unité.
On suppose qu'à la buvette un touriste achète au plus une boisson.

Un touriste visite le site. On a établi que :

On note :

  1. Donner pC¯B et pC¯.

  2. Le touriste visite à pied. Quelle est la probabilité qu'il achète une boisson ?

    1. Montrer que pB=0,74.

    2. En déduire la recette moyenne prévisible de la buvette lors d'une journée où 1 000 touristes sont attendus sur le site.

  3. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste.

    1. Quelles sont les valeurs possibles de d ?

    2. Établir la loi de probabilité de d. On présentera le résultat dans un tableau.

    3. Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une entreprise, lors d'un mouvement social, le personnel est amené à se prononcer chaque jour sur l'opportunité ou non du déclenchement d'une grève.

Le premier jour, 15% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.

À partir de ce jour-là :

On note :


  1. Déterminer l'état initial P1.

    1. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

    2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

  2. Calculer le pourcentage de personnes favorables à la grève le 3e jour.

  3. Soit P=xy l'état probabiliste stable (on rappelle que x+y=1).

    1. Montrer que x et y vérifient l'équation x=0,65x+0,33y.

    2. Déterminer x et y (on arrondira les résultats à 10-3 près).

    3. Interpréter le résultat.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques seront arrondis à l'unité près sauf indication contraire.

Une machine est achetée 3 000 euros.
Le prix de revente y, exprimé en euros, est donné en fonction du nombre x d'années d'utilisation par le tableau suivant :

xi 0 1 2 3 4 5
yi 3000 2400 1920 1536 1229 983

A) AJUSTEMENT AFFINE

  1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique xiyi dans un repère orthogonal du plan.
    Les unités graphiques seront de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 200 euros sur l'axe des ordonnées.

  2. Calculer le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation.

  3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
    Donner une équation de la droite de régression D de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
    Représenter la droite D dans le repère précédent.

B) AJUSTEMENT NON AFFINE

On pose z=lny et on admet qu'une équation de la droite de régression de z en x est donnée par : z=-0,22x+8,01.

  1. Déterminer une expression de y en fonction de x de la forme y=Ax×BA est un réel arrondi au centième près et B est un réel arrondi à l'unité près.

  2. En admettant que y=0,80x×3011, déterminer après combien d'années d'utilisation le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 euros.

C) COMPARAISON DES AJUSTEMENTS

Après 6 années d'utilisation le prix de revente d'une machine est de 780 euros.
Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente après 6 années d'utilisation ? On argumentera la réponse.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Soit une fonction r définie sur 012 par rx=900xe-0,1x-2.

A) ÉTUDE D'UNE FONCTION f

  1. On considère la fonction f définie sur ]0;12] par fx=ln[rx].
    Démontrer que fx=ln900+lnx-0,1x-2.

  2. On note f la fonction dérivée de f, démontrer que fx=10-x10x.

  3. Étudier le signe de fx pour tout x de ]0;12] puis dresser le tableau de variations de f sur ]0;12].

  4. On désigne par r la fonction dérivée de r, exprimer f en fonction de r et de r puis justifier que rx et fx ont le même signe pour tout x de ]0;12].

  5. En déduire les variations de r sur ]0;12].

  6. Déterminer pour quelle valeur x0 la fonction r atteint un maximum et calculer rx0 arrondi à l'unité près.

B) CALCUL DE LA VALEUR MOYENNE

  1. Démontrer que la fonction R définie par Rx=-9000x+10e-0,1x-2 est une primitive de la fonction r sur [0;12].

  2. Calculer la valeur moyenne rm de la fonction r sur [0;12] définie par rm=112012rxdx.
    On donnera d'abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à 10-2 près.



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