sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à 10^-2 près.

1. Donner $p\left(\overline{C}\cap B\right)$ et $p\left(\overline{C}\right)$.

   D'après les données de l'énoncé :

   • la probabilité pour qu'un touriste visite à pied est 0,3. Donc $p\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,3}$.

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   • la probabilité pour qu'un touriste visite à pied et achète une boisson est 0,18. Donc $p\left(\overline{C}\cap B\right)=\mathrm{0,18}$.

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2. Le touriste visite à pied. Quelle est la probabilité qu'il achète une boisson ?

   $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{C}}\left(B\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\overline{C}\cap B\right)}{p\left(\overline{C}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{0,3}}}\\ & =& \mathrm{0,6}\end{array}$$

   La probabilité qu'un touriste achète une boisson sachant qu'il visite à pied est 0,6.

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3. 1. Montrer que $p\left(B\right)=\mathrm{0,74}$.

      C et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers, alors , d'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$

      $p\left(B\right)=p\left(B\cap C\right)+p\left(B\cap \overline{C}\right)$.

      Nous devons donc d'abord calculer $p\left(B\cap C\right)$.

      $p\left(B\cap C\right)=p_C\left(B\right)\times p\left(C\right)$

      Or d'après l'énoncé, $p_C\left(B\right)=\mathrm{0,8}$ et $p\left(C\right)=1-p\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.

      Donc $p\left(B\cap C\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,56}$.

      Ainsi $$\begin{array}{lll}p\left(B\cap C\right)& =& p\left(B\cap C\right)+p\left(B\cap \overline{C}\right)\\ & =& \mathrm{0,56}+\mathrm{0,18}\\ & =& \mathrm{0,74}\end{array}$$

      Donc $p\left(B\right)=\mathrm{0,74}$.

      ---

   2. En déduire la recette moyenne prévisible de la buvette lors d'une journée où 1 000 touristes sont attendus sur le site.

      Un touriste achète au plus une boisson à la buvette et la probabilité qu'un touriste achète une boisson est de 0,74 soit une recette prévisible en euros pour la buvette de :

      $1000\times \mathrm{0,74}\times 2=1480$

      Pour 1000 touristes la recette moyenne prévisible de la buvette est donc de 1480 €.

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4. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste.

   1. Quelles sont les valeurs possibles de d ?

      Pour un touriste, les différentes possibilités pour la visite sont :

      • Visite à pied d'où une dépense $d=4$.
      • Visite à pied et achat d'une boisson d'où une dépense $d=4+2=6$.
      • Visite en car d'où une dépense $d=4+3=7$.
      • Visite en car et achat d'une boisson d'où une dépense $d=7+2=9$.

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      Les valeurs possibles de d sont : 4; 6; 7 et 9

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   2. Établir la loi de probabilité de d. On présentera le résultat dans un tableau.

      • Une dépense $d=4$ est associée à l'évènement $\overline{C}\cap \overline{B}$

        Or $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{C}\cap \overline{B}\right)& =& p_{\overline{C}}\left(\overline{B}\right)\times p\left(\overline{C}\right)\\ & =& \left(1-p_{\overline{C}}\left(B\right)\right)\times p\left(\overline{C}\right)\\ & =& \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,3}\\ & =& \mathrm{0,12}\end{array}$$

      • Une dépense $d=6$ est associée à l'évènement $\overline{C}\cap B$ d'où $p\left(d=6\right)=\mathrm{0,18}$.

      • Une dépense $d=9$ est associée à l'évènement $C\cap B$ d'où $p\left(d=9\right)=\mathrm{0,56}$.

      • La somme des différentes probabilités est égale à 1 d'où $p\left(d=7\right)=1-\left(\mathrm{0,12}+\mathrm{0,18}+\mathrm{0,56}\right)=\mathrm{0,14}$.

      La loi de probabilité de d est :

      $d_i$	4	6	7	9
      $p_i$	0,12	0,18	0,14	0,56

   3. Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?

      L'espérance mathématique $\mu$ de la loi de probabilité de d est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$

      $$\mu =4\times \mathrm{0,12}+6\times \mathrm{0,18}+7\times \mathrm{0,14}+9\times \mathrm{0,56}=\mathrm{7,58}$$

      La dépense moyenne d'un touriste est de 7,58 €.

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