sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques seront arrondis à l'unité près sauf indication contraire.

A) AJUSTEMENT AFFINE

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan.
   Les unités graphiques seront de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 200 euros sur l'axe des ordonnées.

   L'unité en cm n'est pas respectée car non compatible avec l'affichage.

2. Calculer le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation.

   Le coefficient multiplicateur associé au taux de variation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation est : ${\displaystyle \frac{1536}{3000}}=\mathrm{0,512}$.

   D'où un taux de dépréciation de 48,8% ($\mathrm{0,512}-1=-\mathrm{0,488}$)

   Arrondi à l'unité près le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation est de 49%.

   ---

3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
   Donner une équation de la droite de régression D de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
   Représenter la droite D dans le repère précédent.

   Une équation de la droite de régression D de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à la calculatrice est : $y=\left(-\mathrm{399,48...}\right)x+\mathrm{2843.38...}$.

   Avec un arrondi à l'unité près des coefficients la droite D a pour équation $y=-399x+2843$.

   ---

B) AJUSTEMENT NON AFFINE

On pose $z=\ln \left(y\right)$ et on admet qu'une équation de la droite de régression de z en x est donnée par : $z=-\mathrm{0,22}x+\mathrm{8,01}$.

1. Déterminer une expression de y en fonction de x de la forme $y={\mathrm{A}}^x\times \mathrm{B}$ où A est un réel arrondi au centième près et B est un réel arrondi à l'unité près.

   $z=\ln \left(y\right)$ et $z=-\mathrm{0,22}x+\mathrm{8,01}$ alors

   $$\begin{array}{lll}\ln \left(y\right)=-\mathrm{0,22}x+\mathrm{8,01}& \iff & y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,22}x+\mathrm{8,01}}\\ & \iff & y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,22}x}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{8,01}}\\ & \iff & y={\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,22}}\right)}^x\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{8,01}}\end{array}$$

   Or l'arrondi au centième de ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,22}}$ est 0,80 et l'arrondi à l'unité de ${\mathrm{e}}^{\mathrm{8,01}}$ est 3011

   une expression de y en fonction de x est $y={\mathrm{0,80}}^x\times 3011$.

   ---

2. En admettant que $y={\mathrm{0,80}}^x\times 3011$, déterminer après combien d'années d'utilisation le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 euros.

   le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 euros, pour le plus petit entier naturel n tel que :$$\begin{array}{llll}{\mathrm{0,80}}^n\times 3011⩽500& \iff & {\mathrm{0,80}}^n⩽{\displaystyle \frac{500}{3011}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,80}}^n\right)⩽\ln \left({\displaystyle \frac{500}{3011}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,80}⩽\ln 500-\ln 3011& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln 500-\ln 3011}{\ln \mathrm{0,80}}}& \text{Car }\ln \mathrm{0,80}<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln 500-\ln 3011}{\ln \mathrm{0,80}}}\approx \mathrm{8,046}$. Donc le plus petit entier naturel n tel que $n⩾{\displaystyle \frac{\ln 500-\ln 3011}{\ln \mathrm{0,80}}}$ est 9.

   Après 9 années d'utilisation le prix de revente de la machine est inférieur à 500€.

   ---

C) COMPARAISON DES AJUSTEMENTS

Après 6 années d'utilisation le prix de revente d'une machine est de 780 euros.
Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente après 6 années d'utilisation ? On argumentera la réponse.

Calculons le prix de revente d'une machine après 6 années d'utilisation avec les deux ajustements.

• Avec l'ajustement affine : $y=-399\times 6+2843=449$.

• Avec l'ajustement non affine : $y={\mathrm{0,80}}^6\times 3011\approx 789$ (arrondi à l'unité près).

Des deux ajustements précédents, l'ajustement non affine est celui qui estime le mieux le prix de revente après 6 années d'utilisation.

---

C est la courbe d'équation $y={\mathrm{0,80}}^x\times 3011$.

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.