Baccalauréat session 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55 % des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98 % possèdent un téléphone portable.
De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60 % possèdent un ordinateur.

Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On choisit au hasard un élève de ce lycée. On note :

M l'évènement : « L'élève possède un ordinateur » ;
T l'évènement : « L'élève possède un téléphone portable » ;
$\bar{M}$ l'évènement contraire de M ;
$\bar{T}$ l'évènement contraire de T.

1. Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable.
  Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement $M \cap T$ .
  55 % des élèves possèdent un ordinateur d'où $p (M) = 0,55$ .
  Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98 % possèdent un téléphone portable d'où $p_{M} (T) = 0,98$ .
  Or $\begin{array}{l} p (M \cap T) = p_{M} (T) \times p (M) & Soit & p (M \cap T) = 0,98 \times 0,55 = 0,539 \end{array}$
  Arrondie au centième, la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable est 0,54.
2. En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable.
  Parmi les élèves qui ont un téléphone portable, 60 % possèdent un ordinateur d'où $p_{T} (M) = 0,6$ .
  Or $\begin{array}{lcl} p_{T} (M) = \frac{p (M \cap T)}{p (T)} & Donc & p (T) = \frac{p (M \cap T)}{p_{T} (M)} \\ Soit & p (T) = \frac{0,54}{0,6} = 0,9 \end{array}$
  la probabilité que l'élève possède un téléphone portable est égale à 0,9.
1. On prend 0,90 comme valeur de la probabilité de l'évènement T.
  Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable.
  Les évènements M et T sont relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (T) = p (T \cap M) + p (T \cap \bar{M})$
  D'où $\begin{array}{l} p (\bar{M} \cap T) & = & p (T) - p (T \cap M) \\ = & 0,9 - 0,54 \\ = & 0,36 \end{array}$
  La probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable est égale à 0,36.
2. En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur.
  $\begin{array}{lcl} p_{\bar{M}} (T) = \frac{p (\bar{M} \cap T)}{p (\bar{M})} & \Leftrightarrow & p_{\bar{M}} (T) = \frac{p (\bar{M} \cap T)}{1 - p (M)} \\ Soit & p_{\bar{M}} (T) = \frac{0,36}{1 - 0,55} = 0,8 \end{array}$
  La probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur est égale à 0,8.

partie b

On choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres. On note E l'évènement : « Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur ».
Calculer la probabilité de l'évènement E.

Le choix de trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres, est assimilé à la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.

La loi de probabilité associée au nombre d'élèves ayant un ordinateur est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,55 qui peut être représentée par l'arbre ci-dessous :

L'évènement : « Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur » peut être obtenu selon les trois chemins en rouge de l'arbre ci-dessus ${M M \bar{M}; M \bar{M} M; \bar{M} M M}$ . Les évènements correspondants à ces trois chemins ont la même probabilité d'où la probabilité cherchée : $p (E) = 3 \times {0,55}^{2} \times 0,45 \approx 0,408$

Arrondie au centième, la probabilité l'évènement E est égale à 0,41.

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