sujet : Nouvelle Calédonie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction h définie et dérivable sur $ℝ$ par $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2x}-7{\mathrm{e}}^x+6$. On note $h\prime$ sa fonction dérivée.

1. 1. Calculer la limite de la fonction h en $-\infty$.

   2. Calculer la limite de la fonction h en $+\infty$.
      (on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel x : $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-7+6{\mathrm{e}}^{-x}\right)$).

2. Calculer $h\left(\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\right)$, $h\left(0\right)$ puis $h\left(\ln 6\right)$.

   Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, $\ln a^n=n\ln a$ et ${\mathrm{e}}^{\ln a}=a$

3. Déterminer par le calcul l'image $h\prime \left(x\right)$ d'un réel x par la fonction $h\prime$ et étudier les variations de la fonction h.
   Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau.

4. En déduire le tableau des signes de la fonction h.

partie b

On considère les fonctions f et g définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=6-6{\mathrm{e}}^{-x}$ et $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-1$.

On note ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

Les courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ sont données en annexe.

1. Démontrer que le point de coordonnées $\left(\ln 6;5\right)$ est un point d'intersection des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

2. 1. Démontrer que, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{h\left(x\right)}{{\mathrm{e}}^x}}$.

   2. Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ et $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{h\left(x\right)}{{\mathrm{e}}^x}}$. Donc $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ et $h\left(x\right)$ sont de signes contraires.

3. On note D le domaine du plan limité par les courbes ${𝒞}_f$, ${𝒞}_g$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\ln 6$.

   1. Hachurer le domaine D sur le graphique donné en annexe.

   2. Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine D en cm² puis en donner une valeur approchée arrondie au centième.

      Sur l'intervalle $\left]0;\ln 6\right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$ donc l'aire du domaine D exprimée en unités d'aire est :$${\displaystyle {\int }_0^{\ln 6}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{d}x}$$

annexe

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