Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des crêpes salées et des crêpes sucrées.
Chaque client achète une seule crêpe.
60 % des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).
Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80 % choisissent une crêpe sucrée.

On appelle :

  • D l'évènement : « le client est venu à l'heure du déjeuner ».
  • A l'évènement : « le client achète une crêpe salée ».

On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62.

On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés. Les résultats seront donnés sous forme décimale.

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  1. Déterminer les probabilités des évènements D et D¯.

    60 % des clients se présentent à l'heure du déjeuner donc

    p(D)=0,6 et p(D¯)=1-p(D)=0,4


    1. Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ?

      Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement D¯ est réalisé.

      Or parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi, 80 % choisissent une crêpe sucrée. Donc pD¯(A¯)=0,8 d'où pD¯(A)=1-pD¯(A¯)=1-0,8=0,2

      La probabilité qu'un client ait acheté une crêpe salée sachant qu'il est venu l'après-midi est égale à 0,2.


    2. Calculer p(AD¯).

      p(AD¯)=pD¯(A)×p(D¯)=0,2×0,4=0,08

      Ainsi, p(AD¯)=0,08


    3. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer p(AD).

      La probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62 soit p(A)=0,62.

      D et A sont deux évènements relatifs à une même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(A)=p(AD)+p(AD¯)p(AD)=p(A)-p(AD¯)Soitp(AD)=0,62-0,08=0,54

      Ainsi, p(AD)=0,54


    4. Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à 0,9.

      Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement D est réalisé.

      pD(A)=p(AD)p(D)=0,540,6=0,9

      La probabilité qu'un client achète une crêpe salée, sachant qu'il est venu à l'heure du déjeuner est égale à 0,9.


  2. Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à 0,01 près, qu'il soit venu l'après-midi ?

    pA(D¯)=p(AD¯)p(A)=0,080,620,129

    Arrondie à 0,01 près, la probabilité qu'un client soit venu l'après-midi sachant qu'il a acheté une crêpe salée est 0,13.


  3. On vend 3 euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit 250 clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?

    La probabilité qu'un client achète une crêpe sucrée est p(A¯)=1-p(A)=1-0,62=38

    D'où la loi de probabilité associée à la recette sur la vente de crêpes :

    prix de vente 23
    Probabilité pi0,380,62

    L'espérance mathématique de cette loi de probabilité est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques xi. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :μ=x1p1+x2p2++xnpn=i=1nxipiμ=2×0,38+3×0,62=2,62

    Sur un grand nombre de crêpes, la recette moyenne par crêpe vendue est de 2,62€.

    Donc l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de 250 crêpes est :250×2,62=655

    L'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes est de 655 euros.



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