sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés. Les résultats seront donnés sous forme décimale.

1. Déterminer les probabilités des évènements D et $\overline{D}$.

   60 % des clients se présentent à l'heure du déjeuner donc

   $p\left(D\right)=\mathrm{0,6}$ et $p\left(\overline{D}\right)=1-p\left(D\right)=\mathrm{0,4}$

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2. 1. Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ?

      Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement $\overline{D}$ est réalisé.

      Or parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi, 80 % choisissent une crêpe sucrée. Donc $p_{\overline{D}}\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,8}$ d'où $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{D}}\left(A\right)& =& 1-p_{\overline{D}}\left(\overline{A}\right)\\ & =& 1-\mathrm{0,8}\\ & =& \mathrm{0,2}\end{array}$$

      La probabilité qu'un client ait acheté une crêpe salée sachant qu'il est venu l'après-midi est égale à 0,2.

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   2. Calculer $p\left(A\cap \overline{D}\right)$.

      $$\begin{array}{lll}p\left(A\cap \overline{D}\right)& =& p_{\overline{D}}\left(A\right)\times p\left(\overline{D}\right)\\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,4}\\ & =& \mathrm{0,08}\end{array}$$

      Ainsi, $p\left(A\cap \overline{D}\right)=\mathrm{0,08}$

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   3. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $p\left(A\cap D\right)$.

      La probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62 soit $p\left(A\right)=\mathrm{0,62}$.

      D et A sont deux évènements relatifs à une même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(A\right)=p\left(A\cap D\right)+p\left(A\cap \overline{D}\right)& \iff & p\left(A\cap D\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap \overline{D}\right)\\ & \text{Soit}& p\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,62}-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,54}\end{array}$$

      Ainsi, $p\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,54}$

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   4. Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à 0,9.

      Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement D est réalisé.

      $$\begin{array}{lll}{p}_D\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(A\cap D\right)}{p\left(D\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,54}}{\mathrm{0,6}}}\\ & =& \mathrm{0,9}\end{array}$$

      La probabilité qu'un client achète une crêpe salée, sachant qu'il est venu à l'heure du déjeuner est égale à 0,9.

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3. Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à 0,01 près, qu'il soit venu l'après-midi ?

   $$\begin{array}{lll}{p}_A\left(\overline{D}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(A\cap \overline{D}\right)}{p\left(A\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,62}}}\\ & \approx & \mathrm{0,129}\end{array}$$

   Arrondie à 0,01 près, la probabilité qu'un client soit venu l'après-midi sachant qu'il a acheté une crêpe salée est 0,13.

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4. On vend 3 euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit 250 clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?

   La probabilité qu'un client achète une crêpe sucrée est $$p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-\mathrm{0,62}=38$$

   D'où la loi de probabilité associée à la recette sur la vente de crêpes :

   prix de vente	2	3
   Probabilité $p_i$	0,38	0,62

   L'espérance mathématique de cette loi de probabilité est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$$$\begin{array}{ccccc}\mu & =& 2\times \mathrm{0,38}+3\times \mathrm{0,62}& =& \mathrm{2,62}\end{array}$$

   Sur un grand nombre de crêpes, la recette moyenne par crêpe vendue est de 2,62€.

   Donc l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de 250 crêpes est :$$250\times \mathrm{2,62}=655$$

   L'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes est de 655 euros.

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