Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des crêpes salées et des crêpes sucrées.
Chaque client achète une seule crêpe.
60 % des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).
Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80 % choisissent une crêpe sucrée.
On appelle :
On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62.
On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés. Les résultats seront donnés sous forme décimale.
Déterminer les probabilités des évènements D et .
60 % des clients se présentent à l'heure du déjeuner donc
et
Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ?
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement est réalisé.
Or parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi, 80 % choisissent une crêpe sucrée. Donc d'où
La probabilité qu'un client ait acheté une crêpe salée sachant qu'il est venu l'après-midi est égale à 0,2.
Calculer .
Ainsi,
En utilisant la formule des probabilités totales, calculer .
La probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62 soit .
D et A sont deux évènements relatifs à une même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Ainsi,
Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à 0,9.
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement D est réalisé.
La probabilité qu'un client achète une crêpe salée, sachant qu'il est venu à l'heure du déjeuner est égale à 0,9.
Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à 0,01 près, qu'il soit venu l'après-midi ?
Arrondie à 0,01 près, la probabilité qu'un client soit venu l'après-midi sachant qu'il a acheté une crêpe salée est 0,13.
On vend 3 euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit 250 clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?
La probabilité qu'un client achète une crêpe sucrée est
D'où la loi de probabilité associée à la recette sur la vente de crêpes :
prix de vente | 2 | 3 |
Probabilité | 0,38 | 0,62 |
L'espérance mathématique de cette loi de probabilité est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques . L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :
Sur un grand nombre de crêpes, la recette moyenne par crêpe vendue est de 2,62€.
Donc l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de 250 crêpes est :
L'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes est de 655 euros.
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