Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On considère la fonction f définie sur [0;+[ par f(x)=(ax+b)e-xa et b sont deux réels.
On désigne par f la fonction dérivée de f sur [0;+[ et on note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

  1. On sait que (C) passe par le point E(0;1) et qu'elle admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire f(0) et f(0).

  2. Vérifier que f(x)=(-ax+a-b)e-x.

  3. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b.

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur [0;+[ par : f(x)=(x+1)e-x.

    1. Vérifier que pour tout x de [0;+[, f(x)=xex+1ex.

    2. Déterminer la limite de la fonction f en +.

      limx+exx=+

    3. En déduire que (C) possède une asymptote dont on précisera une équation.

    1. Calculer f(x).

    2. Étudier le signe de f(x) sur [0;+[ puis dresser le tableau de variation complet de f.

    1. Montrer que l'équation f(x)=0,5 possède une unique solution α dans l'intervalle [0;4].

      Théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    2. Déterminer un encadrement de α à 10−3 près.

  1. On considère la fonction g définie sur [0;+[ par g(x)=-(x+2)e-x. Montrer que g est une primitive de f sur [0;+[.

    Dire que g est une primitive de f sur [0;+[ signifie que pour tout réel x de l'intervalle [0;+[, g(x)=f(x).

  2. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0;4]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.

    (Rappel : la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle [a;b] est égale à 1b-a×abf(x)dx )

partie c

Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de [0;4]. Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l'expression : f(q)=(q+1)e-q

  1. Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4000 pièces ?

  2. À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à 0,5 euro ?


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.