sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On considère la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-x}$ où a et b sont deux réels.
On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $\left[0;+\infty \right[$ et on note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

1. On sait que (C) passe par le point $E\left(0;1\right)$ et qu'elle admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

2. Vérifier que $f\prime \left(x\right)=\left(-ax+a-b\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

3. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b.

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

1. 1. Vérifier que pour tout x de $\left[0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$.

   2. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}=+\infty$

   3. En déduire que (C) possède une asymptote dont on précisera une équation.

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $\left[0;+\infty \right[$ puis dresser le tableau de variation complet de f.

3. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ possède une unique solution α dans l'intervalle $\left[0;4\right]$.

      Théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   2. Déterminer un encadrement de α à 10⁻³ près.

4. On considère la fonction g définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$. Montrer que g est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

   Dire que g est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

5. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.

   (Rappel : la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle $\left[a;b\right]$ est égale à ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}\times {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ )

partie c

Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de $\left[0;4\right]$. Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l'expression : $$f\left(q\right)=\left(q+1\right){\mathrm{e}}^{-q}$$

1. Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4000 pièces ?

2. À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à 0,5 euro ?

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