sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On considère la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-x}$ où a et b sont deux réels.
On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $\left[0;+\infty \right[$ et on note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

1. On sait que (C) passe par le point $E\left(0;1\right)$ et qu'elle admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

   (C) passe par le point $E\left(0;1\right)$ alors les coordonnées du point E vérifient l'équation de la courbe d'où $f\left(0\right)=1$.

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   La tangente à la courbe au point d'abscise 0 est parallèle à l'axe des abscisses alors $f\prime \left(0\right)=0$.

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2. Vérifier que $f\prime \left(x\right)=\left(-ax+a-b\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, posons $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=ax+b& \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\\ \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=a& \text{et}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$.

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& a\times {\mathrm{e}}^{-x}+\left(ax+b\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^{-x}\times \left(a-ax-b\right)\end{array}$$

   Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=\left(-ax+a-b\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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3. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b.

   $f\left(0\right)=1$ alors $b\times {\mathrm{e}}^{-0}=1\iff b=1$

   $f\prime \left(0\right)=0$ alors $\left(a-b\right){\mathrm{e}}^{-0}=0\iff a-b=0$

   Donc a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{cc}\{\begin{array}{rll}a-b& =& 0\\ b& =& 1\end{array}& \iff \{\begin{array}{lll}a& =& 1\\ b& =& 1\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

1. 1. Vérifier que pour tout x de $\left[0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccc}\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}& =& {\displaystyle \frac{x+1}{{\mathrm{e}}^{-x}}}& =& {\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout x de $\left[0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$.

      ---

   2. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}=+\infty$ donc par inverse, on obtient $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}=0$

      D'autre part, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}=0$. Donc par somme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}=0$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

      ---

   3. En déduire que (C) possède une asymptote dont on précisera une équation.

      Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors,

      la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation $y=0$ en $+\infty$.

      ---

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, posons $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=x+1& \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\\ \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1& \text{et}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-x}+\left(x+1\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^{-x}\times \left(1-x-1\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=-x{\mathrm{e}}^{-x}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $\left[0;+\infty \right[$ puis dresser le tableau de variation complet de f.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$. Donc $$\begin{array}{ccc}x>0\iff -x{\mathrm{e}}^{-x}<0& \text{et}& -x{\mathrm{e}}^{-x}=0\iff x=0\end{array}$$

      Sur $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)<0$ et $f\prime \left(0\right)=0$.

      ---

      Les variations de la fonction f se déduisant du signe de la dérivée, f est strictement décroissante sur $\left[0;+\infty \right[$ . D'où le tableau de variations de f :

      x	0		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$	0	−
      $f\left(x\right)$	1		0

      ---

      Courbe représentative de la fonction f

3. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ possède une unique solution α dans l'intervalle $\left[0;4\right]$.

      Nous avons :$$\begin{array}{lll}f\left(0\right)=\left(0+1\right)\times {\mathrm{e}}^{-0}=1& \text{et}& f\left(4\right)=\left(4+1\right)\times {\mathrm{e}}^{-4}=5{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{0,09}\end{array}$$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, la fonction f est continue, strictement décroissante et $f\left(4\right)<\mathrm{0,5}<f\left(0\right)$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      L'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une solution unique $\alpha$ située dans l'intervalle $\left[0;4\right]$.

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   2. Déterminer un encadrement de α à 10⁻³ près.

      À l'aide de la calculatrice, on détermine des encadrements successifs de $\alpha$ : $$\begin{array}{ccccc}f\left(1\right)\approx \mathrm{0,7}\text{ et }f\left(2\right)\approx \mathrm{0,4}& \Rightarrow & f\left(2\right)<\mathrm{0,5}<f\left(1\right)& \text{d'où}& 1<\alpha <2\\ f\left(\mathrm{1,6}\right)\approx \mathrm{0,52}\text{ et }f\left(\mathrm{1,7}\right)\approx \mathrm{0,49}& \Rightarrow & f\left(\mathrm{1,7}\right)<\mathrm{0,5}<f\left(\mathrm{1,6}\right)& \text{d'où}& \mathrm{1,6}<\alpha <\mathrm{1,7}\\ f\left(\mathrm{1,67}\right)\approx \mathrm{0,503}\text{ et }f\left(\mathrm{1,68}\right)\approx \mathrm{0,499}& \Rightarrow & f\left(\mathrm{1,68}\right)<\mathrm{0,5}<f\left(\mathrm{1,67}\right)& \text{d'où}& \mathrm{1,67}<\alpha <\mathrm{1,68}\\ f\left(\mathrm{1,678}\right)\approx \mathrm{0,5001}\text{ et }f\left(\mathrm{1,679}\right)\approx \mathrm{0,4998}& \Rightarrow & f\left(\mathrm{1,679}\right)<\mathrm{0,5}<f\left(\mathrm{1,678}\right)& \text{d'où}& \mathrm{1,678}<\alpha <\mathrm{1,679}\end{array}$$

      D'où un encadrement de α à 10⁻³ près : $\mathrm{1,678}<\alpha <\mathrm{1,679}$.

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4. On considère la fonction g définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$. Montrer que g est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

   Dire que g est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, posons $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=\left(x+2\right)& \text{et}& v\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\\ \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1& \text{et}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

   g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$.

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}g\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-x}+\left(x+2\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-x}\times \left(x+1\right)\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc g est une primitive de f.

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5. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.
   (Rappel : la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle $\left[a;b\right]$ est égale à ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}\times {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ )

   La valeur moyenne m de f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ est :$$\begin{array}{lll}m={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4-0}}\times {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\left[g\left(x\right)\right]}_0^4}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[g\left(4\right)-g\left(0\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[\left(-\left(4+2\right){\mathrm{e}}^{-4}\right)-\left(-\left(0+2\right){\mathrm{e}}^{-0}\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[-6{\mathrm{e}}^{-4}+2\right[\\ & =& {\displaystyle \frac{1-3{\mathrm{e}}^{-4}}{2}}\end{array}$$

   La valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[2;10\right]$ est $m={\displaystyle \frac{1-3{\mathrm{e}}^{-4}}{2}}$. La valeur décimale arrondie au millième de m est 0,473.

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partie c

Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de $\left[0;4\right]$. Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l'expression : $$f\left(q\right)=\left(q+1\right){\mathrm{e}}^{-q}$$

1. Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4000 pièces ?

   Pour une production de 4000 pièces, le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, est : $$f\left(4\right)=5{\mathrm{e}}^{-4}$$

   Le coût de production, exprimé en euros, de 4000 pièces est donc :$$4000\times 5{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{366,3}$$

   Arrondi à l'euro près, le coût de production de 4000 pièces est de 366€.

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2. À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à 0,5 euro ?

   Le prix de revient d'une pièce est inférieur à 0,5 euro pour une quantité q exprimée en milliers telle que $$f\left(q\right)<\mathrm{0,5}$$

   Or d'après l'étude précédente, la fonction f est strictement décroissante et $f\left(\alpha \right)=\mathrm{0,5}$ avec $\mathrm{1,678}<\alpha <\mathrm{1,679}$.

   Donc le prix de revient d'une pièce est inférieur à 0,5 euro pour une quantité q exprimée en milliers telle que $q>\alpha$

   Le prix de revient d'une pièce est inférieur à 0,5 euro à partir d'une production quotidienne de 1679 pièces.

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