Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Polynésie

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des crêpes salées et des crêpes sucrées.
Chaque client achète une seule crêpe.
60 % des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).
Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80 % choisissent une crêpe sucrée.

On appelle :
D l'évènement : « le client est venu à l'heure du déjeuner ».
A l'évènement : « le client achète une crêpe salée ».

On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62.

On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés. Les résultats seront donnés sous forme décimale.

  1. Déterminer les probabilités des évènements D et D¯.

    1. Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ?

    2. Calculer pAD¯.

    3. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer pAD.

    4. Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à 0,9.

  2. Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à 0,01 près, qu'il soit venu l'après-midi ?

  3. On vend 3 euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit 250 clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions ci-dessous, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

  1. La fonction xe+15 est la fonction dérivée de la fonction xex+ln5.

  2. L'ensemble des solutions sur   de l'équation ex-1ex+4=0 est : S=0.

  3. Si 1-1100n0,7 alors nln0,7ln0,99.

  4. L'ensemble des solutions sur   de l'équation lnx2+4x+3=ln5x+9 est : S=-23.

  5. La limite quand x tend vers 1, x<1, de la fonction xln1-x2 est 0.


exercice 3 ( 9 points ) commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On considère la fonction f définie sur 0+ par fx=ax+be-xa et b sont deux réels.
On désigne par f la fonction dérivée de f sur 0+ et on note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

  1. On sait que (C) passe par le point E01 et qu'elle admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire f0 et f0.

  2. Vérifier que fx=-ax+a-be-x.

  3. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b.

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur 0+ par : fx=x+1e-x.

    1. Vérifier que pour tout x de 0+, fx=xex+1ex.

    2. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞.

    3. En déduire que (C) possède une asymptote dont on précisera une équation.

    1. Calculer fx.

    2. Étudier le signe de fx sur 0+ puis dresser le tableau de variation complet de f.

    1. Montrer que l'équation fx=0,5 possède une unique solution α dans l'intervalle 04.

    2. Déterminer un encadrement de α à 10−3 près.

  1. On considère la fonction g définie sur 0+ par gx=-x+2e-x. Montrer que g est une primitive de f sur 0+.

  2. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle 04. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.

    (Rappel : la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle ab est égale à 1b-a×abfxdx )

partie c

Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de 04. Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l'expression : fq=q+1e-q

  1. Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4000 pièces ?

  2. À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à 0,5 euro ?



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✉ A.Yallouz

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