sujet : Pondichéry 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. La courbe $C_h$ représentative d'une fonction h définie et dérivable sur $ℝ$ est représentée ci-dessous.
   On a tracé la tangente T à $C_h$ au point $A\left(-1;3\right)$. T passe par le point $B\left(0;-2\right)$.

   proposition : le nombre dérivé $h\prime \left(-1\right)$ est égal à $-2$.

   Le nombre dérivé $h\prime \left(-1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_h$ au point A d'abscisse $-1$ or cette tangente passe également par le point $B\left(0;-2\right)$ d'où $$\begin{array}{ccc}h\prime \left(-1\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& h\prime \left(-1\right)={\displaystyle \frac{-2-3}{0+1}}=-5\end{array}$$

   Ainsi, $h\prime \left(-1\right)=-5$ donc la proposition 1 est fausse.

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2. On désigne par f une fonction définie et deux fois dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$. La courbe représentative de la fonction $f″$, dérivée seconde de la fonction f, est donnée ci-dessous.
   Le point de coordonnées $\left(1;0\right)$ est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.

   proposition : la fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[1;4\right]$.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Par lecture graphique :

   x	0		1		$+\infty$
   Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Convexité de f		f est convexe		f est concave

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   La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ donc la proposition 2 est fausse.

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3. proposition : on a l'égalité ${\mathrm{e}}^{5\ln 2}\times {\mathrm{e}}^{7\ln 4}=2^{19}$.

   $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{5\ln 2}\times {\mathrm{e}}^{7\ln 4}& =& {\mathrm{e}}^{\ln 2^5}\times {\mathrm{e}}^{\ln 4^7}\hfill \\ & =& 2^5\times 4^7\hfill \\ & =& 2^5\times 2^{14}\hfill \\ & =& 2^{19}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, ${\mathrm{e}}^{5\ln 2}\times {\mathrm{e}}^{7\ln 4}=2^{19}$ donc la proposition 3 est vraie.

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4. La courbe représentative d'une fonction g définie et continue sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ est donnée en fig. 1.
   La courbe représentative d'une de ses primitives, G, est donnée sur la fig. 2. La courbe représentative de G passe par les points $A\left(0;1\right)$, $B\left(1;1\right)$ et $C\left(2;5\right)$

   fig. 1	fig. 2

   proposition : la valeur exacte de l'aire de la partie coloriée sous la courbe de g en fig. 1 est 4 unités d'aires.

   Par lecture graphique, la fonction g est positive sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ est égale à l'intégrale de la fonction g sur l'intervalle $\left[1;2\right]$. $${\displaystyle {\int }_1^{2}g\left(x\right)\mathrm{d}x}=G\left(2\right)-G\left(1\right)$$

   Or la courbe représentative de la fonction G passe par les points $B\left(1;1\right)$ et $C\left(2;5\right)$ d'où $$G\left(2\right)-G\left(1\right)=5-1=4$$

   L'aire du domaine colorié est égale à 4 unités d'aire donc la proposition 4 est vraie.

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