Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichéry 2014

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. La courbe Ch représentative d'une fonction h définie et dérivable sur est représentée ci-dessous.
    On a tracé la tangente T à Ch au point A-13. T passe par le point B0-2.

    Courbe représentative de la fonction h : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    proposition : le nombre dérivé h-1 est égal à -2.

  2. On désigne par f une fonction définie et deux fois dérivable sur 0+. La courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, est donnée ci-dessous.
    Le point de coordonnées 10 est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.

    Courbe représentative de dérivée seconde de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    proposition : la fonction f est convexe sur l'intervalle 14.

  3. proposition : on a l'égalité e5ln2×e7ln4=219.

  4. La courbe représentative d'une fonction g définie et continue sur l'intervalle 02 est donnée en fig. 1.
    La courbe représentative d'une de ses primitives, G, est donnée sur la fig. 2. La courbe représentative de G passe par les points A01, B11 et C25

    Courbe représentative de la fonction g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction G : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    fig. 1fig. 2

    proposition : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de g en fig. 1 est 4 unités d'aires.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.
Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d'une année restent présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.
La situation peut être modélisée par une suite un admettant pour premier terme u0=115, le terme un donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année 2013+n.

  1. Calculer u1 et u2. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ?

  2. Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme.

    1. Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'algorithme 3 permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1er janvier de l'année 2013+n.
      Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

      variables :

      U est un nombre réel
      i et N sont des nombres entiers

      Début

      Saisir une valeur pour N
      Affecter 115 à U

      Pour i de 1 à N faire
      Affecter 0,6×U+120 à U
      Fin Pour

      Afficher U

      Fin

      variables :

      U est un nombre réel
      i et N sont des nombres entiers

      Début

      Saisir une valeur pour N

      Pour i de 1 à N faire
      Affecter 115 à U
      Affecter 0,4×U+115 à U
      Fin Pour

      Afficher U

      Fin

      variables :

      U est un nombre réel
      i et N sont des nombres entiers

      Début

      Saisir une valeur pour N
      Affecter 115 à U

      Pour i de 1 à N faire
      Affecter 0,4×U+120 à U
      Fin Pour

      Afficher U

      Fin

      algorithme 1algorithme 2algorithme 3
    2. Donner, pour tout entier naturel n, l'expression de un+1 en fonction de un.

  3. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-200.

    1. Montrer que vn est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser v0.

    2. Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=200-85×0,4n.

    4. La capacité d'accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.

  4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1er janvier.
    Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

partie a

En 2013, l'entreprise U avait 45 % du marché et l'entreprise V le reste.
Chaque année, l'entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel n :

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.

  2. Donner v0, calculer u1 et v1.

  3. On considère l'algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de un et vn pour un entier naturel n saisi en entrée.
    Recopier sur la copie la partie « traitement » (lignes L3 à L9) en complétant les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu.

    Variables :N est un nombre entier naturel non nul L1
    U et V sont des nombres réels L2
    Traitement :Saisir une valeur pour NL3
    Affecter à U la valeur 0,45 L4
    Affecter à V la valeur … L5
    Pour i allant de 1 jusqu'à NL6
    Affecter à U la valeur 0,9×U+0,15×VL7
    Affecter à V la valeur …L8
    Fin Pour L9
    Sortie :Afficher U et Afficher VL10
  4. On admet que, pour tout nombre entier naturel n, un+1=0,75un+0,15.
    On note, pour tout nombre entier naturel n, wn=un-0,6.

    1. Montrer que la suite wn est une suite géométrique de raison 0,75.

    2. Quelle est la limite de la suite wn ? En déduire la limite de la suite un. Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.

partie b

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

Nombre de recharges en milliers135
Coût total annuel de production en centaines d'euros1127,483

Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel x de l'intervalle 010 par :Cx=ax3+bx2+cx+10a, b et c sont des nombres réels.

Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, Cx est le coût total de production en centaines d'euros.

On admet que le triplet abc est solution du système S{a+b+c=127a+9b+3c=17,4125a+25b+5c=73 et on pose X=abc.

    1. Écrire ce système sous la forme MX=YM et Y sont des matrices que l'on précisera.

    2. On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet abc solution du système (S).

  1. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d'eau produites ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les parties A, B et C sont indépendantes

partie a

Une société s'est intéressée à la probabilité qu'un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l'hiver 2014.
On a évalué à 0,07 la probabilité qu'un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.
Si le salarié n'est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu'il soit absent est estimée à 0,04.

On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les évènements suivants :

  1. Reproduire et compléter l'arbre en indiquant les probabilités de chacune des branches.

    Arbre de probabilité à compléter : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Montrer que la probabilité pA de l'évènement A est égale à 0,1072.

  3. Pour une semaine donnée, calculer la probabilité qu'un salarié ait la grippe sachant qu'il est absent. Donner un résultat arrondi au millième.

partie b

On admet que le nombre de journées d'absence annuel d'un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ=14 et d'écart type σ=3,5.

  1. Justifier, en utilisant un résultat du cours, que p7X210,95.

  2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un salarié comptabilise au moins 10 journées d'absence dans l'année.

partie c

Une mutuelle déclare que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013.
Afin d'observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle.
Parmi celles-ci, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013.
Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction f définie pour tout nombre réel x de l'intervalle I=03 par fx=10x2-20xlnx. Lorsque x représente le nombre de centaines de litres de sorbet, fx est le coût total de fabrication en centaines d'euros.
La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction r définie sur le même intervalle I.

partie a

La courbe C représentative de la fonction f et la droite D représentative de la fonction linéaire r sont données ci-dessous.

Courbes représentatives des fonctions f et r : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.

    1. Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.

    2. Donner l'expression de rx en fonction de x.

    3. Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice ?

  2. On admet que 1320xlnxdx=90ln3-40.

    1. En déduire la valeur de 13fxdx.

    2. En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production.

partie b

On note Bx le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de x centaines de litres de sorbet produits.
D'après les données précédentes, pour tout x de l'intervalle 13, on a Bx=-10x2+10x+20xlnxBx est exprimé en centaines d'euros.

  1. On note B la fonction dérivée de la fonction B.
    Montrer que, pour tout nombre x de l'intervalle 13, on a Bx=-20x+20lnx+30.

  2. On donne le tableau de variation de la fonction dérivée B sur l'intervalle 13.

    x1 3
    Bx

    B1

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    B3


    1. Montrer que l'équation Bx=0 admet une unique solution α dans l'intervalle 13. Donner une valeur approchée de α à 10-2.

    2. En déduire le signe de Bx sur l'intervalle 13 puis dresser le tableau de variation de la fonction B sur ce même intervalle.

    3. L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 850 euros. Est-ce envisageable ?




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