Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction f définie pour tout nombre réel x de l'intervalle $I =] 0; 3]$ par $f (x) = 10 x^{2} - 20 x \ln x$ . Lorsque x représente le nombre de centaines de litres de sorbet, $f (x)$ est le coût total de fabrication en centaines d'euros.
La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction r définie sur le même intervalle I.

partie a

La courbe C représentative de la fonction f et la droite D représentative de la fonction linéaire r sont données ci-dessous.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.
1. Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.
  La droite D passe par le point de coordonnées $(1; 10)$ . Donc les 100 litres de sorbet sont vendus à 1000 euros.
2. Donner l'expression de $r (x)$ en fonction de x.
  r est une fonction linéaire telle que $r (1; 10) 1 (1; 10) = 10$ donc
  r est la fonction définie pour tout nombre réel x de l'intervalle I par $r (x) = 10 x$ .
3. Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice ?
  L'entreprise dégage un bénéfice quand la recette est supérieure au coût total de fabrication c'est à dire pour une production supérieure à 100 litres.
On admet que $\int_{1}^{3} 20 x \ln x d x = 90 \ln 3 - 40$ .
1. En déduire la valeur de $\int_{1}^{3} f (x) d x$ .
  $\begin{matrix} \int_{1}^{3} f (x) d x & = & \int_{1}^{3} (1; 10) 10 x^{2} - 20 x \ln x (1; 10) d x \\ = & \int_{1}^{3} 10 x^{2} d x - \int_{1}^{3} 20 x \ln x d x \\ = & {[\frac{10 x^{3}}{3}]}_{1}^{3} - (1; 10) 90 \ln 3 - 40 (1; 10) \\ = & \frac{270}{3} - \frac{10}{3} - 90 \ln 3 + 40 \\ = & \frac{380}{3} - 90 \ln 3 \end{matrix}$
  $\int_{1}^{3} f (x) d x = \frac{380}{3} - 90 \ln 3$ .
2. En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production.
  La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[1; 3]$ est : $\frac{1}{3 - 1} \times \int_{1}^{3} f (x) d x = \frac{190}{3} - 45 \ln 3 \approx 13,90$
  Pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production est de 1 390 euros.

partie b

On note $B (x)$ le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de x centaines de litres de sorbet produits.
D'après les données précédentes, pour tout x de l'intervalle $[1; 3]$ , on a $B (x) = - 10 x^{2} + 10 x + 20 x \ln x$ où $B (x)$ est exprimé en centaines d'euros.

On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que, pour tout nombre x de l'intervalle $[1; 3]$ , on a $B' (x) = - 20 x + 20 \ln x + 30$ .
Soit g la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $[1; 3]$ par $g (x) = 20 x \ln x$ .
g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g = u v$ d'où $g' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[1; 3]$ , ${\begin{matrix} u (x) = 20 x & ; & u' (x) = 20 \\ v (x) = \ln x & ; & v' (x) = \frac{1}{x} \end{matrix}$
Comme pour tout réel x de l'intervalle $[1; 3]$ , $B (x) = - 10 x^{2} + 10 x + g (x)$ , B est dérivable comme somme de fonctions dérivables : $\begin{matrix} B' (x) & = & - 20 x + 10 + (1; 10) 20 \ln x + 20 x \times \frac{1}{x} (1; 10) \\ = & - 20 x + 10 + 20 \ln x + 20 \\ = & - 20 x + 20 \ln x + 30 \end{matrix}$
$B'$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $[1; 3]$ par $B' (x) = - 20 x + 20 \ln x + 30$ .

On donne le tableau de variation de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle $[1; 3]$ .

x	1		3
$B' (x)$	$B' (1; 10) 1 (1; 10)$		$B' (1; 10) 3 (1; 10)$

Montrer que l'équation $B' (x) = 0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $[1; 3]$ . Donner une valeur approchée de α à $10^{- 2}$ .
$B' (1; 10) 1 (1; 10) = - 20 + 30 = 10$ et $B' (1; 10) 3 (1; 10) = - 60 + 20 \ln 3 + 30 \approx - 8,028$ .
D'après le tableau de variation, sur l'intervalle $[1; 3]$ , la fonction $B'$ est continue, strictement décroissante et $B' (1; 10) 3 (1; 10) < 0 < B' (1; 10) 1 (1; 10)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
l'équation $B' (x) = 0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $[1; 3]$ . À l'aide de la calculatrice, on obtient $α \approx 2,36$

En déduire le signe de $B' (x)$ sur l'intervalle $[1; 3]$ puis dresser le tableau de variation de la fonction B sur ce même intervalle.

Comme la fonction $B'$ est strictement décroissante et que $B' (1; 10) α (1; 10) = 0$ , on en déduit que :

sur l'intervalle $[1; α]$ , $B' (x) ⩾ 0$ ;
sur l'intervalle $[α; 3]$ , $B' (x) ⩽ 0$ ;

Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée :

x	1		α		3
$B' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$B (x)$			$B (1; 10) α (1; 10)$

L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 850 euros. Est-ce envisageable ?
Le bénéfice maximum est obtenu pour une production de α centaines de litres avec $2,35 < α < 2,36$ . Or $B (1; 10) 2,35 (1; 10) \approx 8,43$ ou $B (1; 10) 2,36 (1; 10) \approx 8,43$
Un bénéfice d'au moins 850 euros n'est pas envisageable.

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