sujet : Pondichéry 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
Le centre ouvre ses portes le 1^er janvier 2013 avec 115 oiseaux.
Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1^er janvier d'une année restent présents le 1^er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1^er janvier des années suivantes.
La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ admettant pour premier terme $u_0=115$, le terme $u_n$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013+n$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ?

   $u_1=\mathrm{0,4}\times 115+120=166$ et $u_2=\mathrm{0,4}\times 166+120=\mathrm{186,4}$

   Ainsi, $u_1=166$ et $u_2\approx 186$. Le terme $u_n$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013+n$, les résultats sont arrondis à l'unité.

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2. Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1^er janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme.

   1. Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'algorithme 3 permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1^er janvier de l'année $2013+n$.
      Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

      variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter $\mathrm{0,6}\times U+120$ à U Fin Pour Afficher U Fin		variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Affecter $\mathrm{0,4}\times U+115$ à U Fin Pour Afficher U Fin		variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter $\mathrm{0,4}\times U+120$ à U Fin Pour Afficher U Fin
      algorithme 1		algorithme 2		algorithme 3

      Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1^er janvier d'une année restent présents le 1^er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. Par conséquent :

      • L'algortithme 1 ne convient pas car à chaque itération de la boucle POUR l'instruction correcte est «Affecter $\mathrm{0,4}\times U+120$ à U».

      • L'algortithme 2 ne convient pas car à chaque itération de la boucle POUR on réinitialise la valeur de U à 115 et on affecte à U la valeur $\mathrm{0,4}\times U+115$

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   2. Donner, pour tout entier naturel n, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

      40 % des oiseaux présents dans le centre au 1^er janvier d'une année restent présents le 1^er janvier suivant et 120 oiseaux sont accueillis dans le centre chaque année. Par conséquent :

      Pour tout entier naturel n, l'expression de $u_{n+1}=\mathrm{0,4}\times u_n+120$

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3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-200$.

   1. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser $v_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-200\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}{u}_n+120-200\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}{u}_n-80\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}\times \left(u_n-200\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{0,4}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0-200& \text{soit}& v_0=115-200=-85\end{array}$$

      Ainsi, $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_0=-85$.

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   2. Exprimer, pour tout entier naturel n, $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_0=-85$ donc :

      pour tout entier n, $v_n=-85\times {\mathrm{0,4}}^n$

      ---

   3. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=200-85\times {\mathrm{0,4}}^n$.

      Pour tout entier n, $v_n=u_n-200$ d'où $u_n=v_n+200$.

      Donc pour tout entier n, $u_n=200-85\times {\mathrm{0,4}}^n$.

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   4. La capacité d'accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.

      • méthode 1

        Pour tout entier n, $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{0,4}}^n>0& \iff & -85\times {\mathrm{0,4}}^n<0\hfill \\ & \iff & 200-85\times {\mathrm{0,4}}^n<200\hfill \end{array}$$

        Ainsi, pour tout entier n, $u_n<200$ donc la capacité d'accueil du centre de 200 oiseaux est suffisante.

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      • méthode 2

        • Étudions la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$ :

          Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(200-85\times {\mathrm{0,4}}^{n+1}\right)-\left(200-85\times {\mathrm{0,4}}^n\right)\hfill \\ & =& -85\times {\mathrm{0,4}}^{n+1}+85\times {\mathrm{0,4}}^n\hfill \\ & =& 85\times {\mathrm{0,4}}^n\times \left(-\mathrm{0,4}+1\right)\hfill \\ & =& 51\times {\mathrm{0,4}}^n\hfill \end{array}$$

          Or pour tout entier n, ${\mathrm{0,4}}^n>0$, d'où $u_{n+1}-u_n>0$. Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

        • Étudions la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ :

          $0<\mathrm{0,4}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,4}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }200-85\times {\mathrm{0,4}}^n=200$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=200$. Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 200.

        $\left(u_n\right)$ est une suite croissante qui converge vers 200. Par conséquent, la capacité d'accueil du centre de 200 oiseaux est suffisante.

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4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1^er janvier.
   Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1^er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.

   Calculons le nombre d'oiseaux présents dans le centre entre le 1^er janvier 2013 et le 31 décembre 2018

   $$\begin{array}{ccc}{u}_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5& =& 200-85\times {\mathrm{0,4}}^0+200-85\times {\mathrm{0,4}}^1+200-85\times {\mathrm{0,4}}^2+200-85\times {\mathrm{0,4}}^3+200-85\times {\mathrm{0,4}}^4+200-85\times {\mathrm{0,4}}^5\hfill \\ & =& 6\times 200-85\times \left({\mathrm{0,4}}^0+{\mathrm{0,4}}^1+{\mathrm{0,4}}^2+{\mathrm{0,4}}^3+{\mathrm{0,4}}^4+{\mathrm{0,4}}^5\right)\hfill \\ & =& 1200-85\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,4}}^6}{1-\mathrm{0,4}}}\hfill \\ & =& \mathrm{1058,9136}\hfill \end{array}$$

   Soit environ 1059 oiseaux qui ont été accueillis par le centre entre le 1^er janvier 2013 et le 31 décembre 2018, ce qui correspond à un montant total de la subvention de :$$20\times 1059=21180$$

   Entre le 1^er janvier 2013 et le 31 décembre 2018, le centre a reçu une subvention de 21 180 euros.

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