Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes

Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

partie a

En 2013, l'entreprise U avait 45 % du marché et l'entreprise V le reste.
Chaque année, l'entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel n :

$u_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année $2013 + n$ , ainsi $u_{0} = 0,45$ ;
$v_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année $2013 + n$ .

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.
Chaque année, l'entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V d'où $p_{U_{n}} (U_{n + 1}) = 0,9$ et $p_{U_{n}} (V_{n + 1}) = 0,1$ .
Quant à l'entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U d'où $p_{V_{n}} (V_{n + 1}) = 0,85$ et $p_{V_{n}} (U_{n + 1}) = 0,15$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Donner $v_{0}$ , calculer $u_{1}$ et $v_{1}$ .
En 2013, l'entreprise U avait 45 % du marché et l'entreprise V le reste donc $v_{0} = 1 - 0,45 = 0,55$
La matrice de transition M de ce graphe telle que $(\begin{matrix} u_{n + 1} & v_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} u_{n} & v_{n} \end{matrix}) \times M$ est $M = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix})$ . Par conséquent : $(\begin{matrix} u_{1} & v_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,45 & 0,55 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,4875 & 0,5125 \end{matrix})$
Ainsi, $u_{1} = 0,4875$ et $v_{1} = 0,5125$ .

On considère l'algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de $u_{n}$ et $v_{n}$ pour un entier naturel n saisi en entrée.
Recopier sur la copie la partie « traitement » (lignes L3 à L9) en complétant les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu.

Variables :	N est un nombre entier naturel non nul	L1
	U et V sont des nombres réels	L2
Traitement :	Saisir une valeur pour N	L3
	Affecter à U la valeur 0,45	L4
	Affecter à V la valeur 0,55	L5
	Pour i allant de 1 jusqu'à N	L6
	Affecter à U la valeur $0,9 \times U + 0,15 \times V$	L7
	Affecter à V la valeur $1 - U$	L8
	Fin Pour	L9
Sortie :	Afficher U et Afficher V	L10

On admet que, pour tout nombre entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n} + 0,15$ .
On note, pour tout nombre entier naturel n, $w_{n} = u_{n} - 0,6$ .
1. Montrer que la suite $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} w_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 0,6 \\ = & 0,75 u_{n} + 0,15 - 0,6 \\ = & 0,75 u_{n} - 0,45 \\ = & 0,75 \times (u_{n} - 0,6) \\ = & 0,75 w_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $w_{n + 1} = 0,75 w_{n}$ donc $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75.
2. Quelle est la limite de la suite $(w_{n})$ ? En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ . Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
  $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 donc $\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 0$ .
  Comme pour tout entier n, $u_{n} = w_{n} + 0,6$ , on en déduit que $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0,6$ .
  La suite $(u_{n})$ converge vers 0,6. À partir d'un certain nombre d'années, chaque année l'entreprise U conservera près de 60 % du marché et l'entreprise V le reste.

partie b

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

Nombre de recharges en milliers	1	3	5
Coût total annuel de production en centaines d'euros	11	27,4	83

Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 10]$ par : $C (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 10$ a, b et c sont des nombres réels.

Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C (x)$ est le coût total de production en centaines d'euros.

On admet que le triplet $(a b c)$ est solution du système $(S) {\begin{matrix} a + b + c & = & 1 \\ 27 a + 9 b + 3 c & = & 17,4 \\ 125 a + 25 b + 5 c & = & 73 \end{matrix}$ et on pose $X = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ .

1. Écrire ce système sous la forme $M X = Y$ où M et Y sont des matrices que l'on précisera.
  Le système s'écrit sous la forme matricielle $M X = Y$ avec $M = (\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 27 & 9 & 3 \\ 125 & 25 & 5 \end{array})$ , $X = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ et $Y = (\begin{matrix} 1 \\ 17,4 \\ 73 \end{matrix})$ .
2. On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet $(a b c)$ solution du système (S).
  $\begin{array}{l} M \times X = Y & \Leftrightarrow & M^{- 1} \times M \times X = M^{- 1} \times Y \\ \Leftrightarrow & X = M^{- 1} \times Y \end{array}$
  Soit $X = (\begin{array}{r} \frac{1}{8} & - \frac{1}{12} & \frac{1}{40} \\ - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} \\ \frac{15}{8} & - \frac{5}{12} & \frac{3}{40} \end{array}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 17,4 \\ 73 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,5 \\ 0,4 \\ 0,1 \end{matrix})$
  Le système (S) admet pour solution le triplet $(0,5 0,4 0,1)$ .
En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d'eau produites ?
Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 10]$ par $C (x) = 0,5 x^{3} + 0,4 x^{2} + 0,1 x + 10$ d'où : $C (8) = 0,5 \times 8^{3} + 0,4 \times 8^{2} + 0,1 \times 8 + 10 = 292,4$
Selon ce modèle, le coût total annuel de production pour 8000 recharges d'eau est de 29 240 euros.

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