sujet : Pondichéry 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A, B et C sont indépendantes

partie a

1. Reproduire et compléter l'arbre en indiquant les probabilités de chacune des branches.

   • On a évalué à 0,07 la probabilité qu'un salarié ait la grippe une semaine donnée d'où $p\left(G\right)=\mathrm{0,07}$ et $p\left(\overline{G}\right)=1-p\left(G\right)=\mathrm{0,93}$.
   • Si le salarié a la grippe, il est alors absent d'où $p_G\left(A\right)=1$.
   • Si le salarié n'est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu'il soit absent est estimée à $p_{\overline{G}}\left(A\right)=\mathrm{0,04}$ et $p_{\overline{G}}\left(\overline{A}\right)=1-p_{\overline{G}}\left(A\right)=\mathrm{0,96}$.

   D'où l'arbre traduisant la sirtuation :

2. Montrer que la probabilité $p\left(A\right)$ de l'évènement A est égale à 0,1072.

   Les évènements G et A sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(A\right)=p\left(G\cap A\right)+p\left(\overline{G}\cap A\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(G\cap A\right)=p_G\left(A\right)\times p\left(G\right)& \text{Soit}& p\left(G\cap A\right)=1\times \mathrm{0,07}=\mathrm{0,07}\hfill \\ \text{et}& p\left(\overline{G}\cap A\right)=p_{\overline{G}}\left(A\right)\times p\left(\overline{G}\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{G}\cap A\right)=\mathrm{0,04}\times \mathrm{0,93}=\mathrm{0,0372}\hfill \end{array}$$

   On obtient alors $$p\left(A\right)=\mathrm{0,07}+\mathrm{0,0372}=\mathrm{0,1072}$$

   Ainsi, la probabilité qu'un salarié soit absent une semaine donnée est égale à 0,1072.

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3. Pour une semaine donnée, calculer la probabilité qu'un salarié ait la grippe sachant qu'il est absent. Donner un résultat arrondi au millième.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_A\left(G\right)={\displaystyle \frac{p\left(G\cap A\right)}{p\left(A\right)}}& \text{Soit}& p_A\left(G\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,07}}{\mathrm{0,1072}}}\approx \mathrm{0,653}\end{array}$$

   Pour une semaine donnée, la probabilité qu'un salarié absent ait la grippe est 0,653.

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partie b

On admet que le nombre de journées d'absence annuel d'un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne $\mu =14$ et d'écart type $\sigma =\mathrm{3,5}$.

1. Justifier, en utilisant un résultat du cours, que $p\left(7⩽X⩽21\right)\approx \mathrm{0,95}$.

   D'après le cours, si X est une une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors $p\left(\mu -2\sigma ⩽X⩽\mu +2\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$ d'où $$\begin{array}{ccc}p\left(14-2\times \mathrm{3,5}⩽X⩽14+2\times \mathrm{3,5}\right)\approx \mathrm{0,95}& \text{soit}& p\left(7⩽X⩽21\right)\approx \mathrm{0,95}\end{array}$$

   Ainsi, $p\left(7⩽X⩽21\right)\approx \mathrm{0,95}$.

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2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un salarié comptabilise au moins 10 journées d'absence dans l'année.

   La calculatrice permet de déterminer la probabilité $p\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale : $$\begin{array}{ccc}p\left(X⩾10\right)& =& p\left(10⩽X⩽14\right)+p\left(X⩾14\right)\hfill \\ & =& p\left(10⩽X⩽14\right)+\mathrm{0,5}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,873}\hfill \end{array}$$

   La probabilité, arrondie au millième, qu'un salarié comptabilise au moins 10 journées d'absence dans l'année est égale à 0,873.

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partie c

Une mutuelle déclare que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013.
Afin d'observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle.
Parmi celles-ci, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013.
Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation.

D'après la mutuelle, la proportion p de ses adhérents qui ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013 est égale à 0,22. La taille n de l'échantillon considéré est égale à 200.

Comme $n=200$, $n\times p=44$ et $n\times \left(1-p\right)=156$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,22}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}\times \mathrm{0,78}}{200}}};\mathrm{0,22}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}\times \mathrm{0,78}}{200}}}\right]\end{array}$$

Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des adhérents qui ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013 sur un échantillon de taille 200 est $I=\left[\mathrm{0,163};\mathrm{0,277}\right]$.

La fréquence observée des adhérents qui ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013 dans l'échantillon est $$f={\displaystyle \frac{28}{200}}=\mathrm{0,14}$$

La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. Le résultat de cette enquête conduit à rejeter l'hypothèse $p=\mathrm{0,22}$.

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