Baccalauréat septembre 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie session septembre 2017

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

La courbe 𝒞 tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d'origine O est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 010.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On considère les points P13 et R46. Le point Q a pour abscisse e, avec e2,718.
Les points P et Q appartiennent à la courbe 𝒞. La droite 𝒟 est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point Q.
La droite (PR) est tangente à la courbe 𝒞 au point P et la droite 𝒟 est tangente à la courbe 𝒞 au point Q.
On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Dans cette partie, les résultats seront donnés à l'aide d'une lecture graphique et sans justification.

  1. Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui désigne l'équation de la droite (PR) ?

    a. y=2x+1

    b. y=x+2

    c. y=2x+2

  2. Donner les valeurs de f1 et f1.

  3. Une seule de ces trois propositions est exacte :

    1. f est convexe sur l'intervalle 010 ;

    2. f est concave sur l'intervalle 010 ;

    3. f n'est ni convexe ni concave sur l'intervalle 010.

    Laquelle ?

  4. Encadrer l'intégrale 12fxdx par deux entiers consécutifs.

partie b

La courbe 𝒞 est la représentation graphique de la fonction f définie sur l'intervalle 010 par fx=-xlnx+2x+1.

    1. Calculer fx.

    2. Démontrer que la fonction f admet un maximum sur l'intervalle 010.

    3. Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction f sur ce même intervalle.

  1. Montrer que la courbe 𝒞 est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle 010.

  2. On admet que la fonction F définie par Fx=-x22lnx+54x2+x-7 est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 010.
    Calculer la valeur exacte de 12fxdx.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 110 par : fx=4e-0,5x+1+x-1. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle 110 et on note f sa fonction dérivée.
On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative 𝒞 de la fonction f sur l'intervalle 110 dans un repère d'origine O.

partie a

  1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle 110 on a : fx=-2e-0,5x+1+1.

    1. Montrer que sur l'intervalle 110, l'équation fx=0 admet pour unique solution le nombre α=2+2ln2.

    2. Placer sur le graphique fourni en annexe le point de la courbe 𝒞 d'abscisse α.

  2. On admet que l'ensemble des solutions sur l'intervalle 110 de l'inéquation fx0 est 2+2ln210.
    En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle 110.

partie b

L'entreprise « COQUE EN STOCK » fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable. Son usine est en mesure de produire entre 100 et 1000 coques par jour.
La fonction f permet de modéliser le coût de production d'une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si x désigne le nombre de centaines de coques produites alors fx représente le coût, en euros, de production d'une coque.

  1. Calculer, au centime près, le coût de production d'une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour.

    1. Montrer que produire 339 coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.

    2. En déduire le coût minimal de production d'une coque, en euros, au centime près.

partie c

Le prix de vente d'une coque peut être modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle 110 par : gx=-14x+6x désigne le nombre de centaines de coques produites et gx le prix de vente d'une coque en euros.

Estimer les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise.

annexe

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On considère la suite géométrique un, de raison 0,9 et de premier terme u0=50.

    1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il calcule le 25e terme de cette suite, c'est-à-dire u24 :

      U

      Pour N allant de 1 à 24
      U
      Fin Pour

    2. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.

    3. Calculer u24 et donner une valeur approchée du résultat à 10-3 près.

  1. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que un<0,01.

  2. On souhaite calculer la somme S24=u0+u1++u24.
    Voici trois propositions d'algorithmes :

    S0

    Pour N allant de 0 à 24
    SS+50×0,9N
    Fin Pour

    S0

    Pour N allant de 0 à 24
    S50×0,9N
    Fin Pour

    S50

    Pour N allant de 0 à 24
    SS+50×0,9N
    Fin Pour

    Algorithme 1Algorithme 2Algorithme 3
    1. Un seul de ces algorithmes permet de calculer la somme S24. Préciser lequel en justifiant la réponse.

    2. Calculer la somme S24. On donnera une valeur approchée du résultat à l'unité près.

  3. Pour tout entier naturel n, on note Sn=u0++un.
    On admet que la suite Sn est croissante et que pour tout entier naturel n, Sn=500-450×0,9n.

    1. Déterminer la limite de la suite Sn lorsque n tend vers +.

    2. Alex affirme que Sn peut dépasser 500 pour une valeur de l'entier n suffisamment grande.
      Que pensez-vous de son affirmation ? Justifier la réponse.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Une entreprise spécialisée dans la personnalisation des étuis de smartphones fait ses achats chez deux fournisseurs :

On sait également que 80 % des étuis achetés par l'entreprise proviennent du fournisseur A (le reste provenant du fournisseur B).

On choisit au hasard un étui de smartphone et on considère les évènements suivants :

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

  2. Calculer la probabilité qu'un étui soit défectueux.

  3. On choisit un étui au hasard et on constate qu'il est défectueux.
    Montrer que la probabilité qu'il provienne du fournisseur B est égale à 0,6.

partie b

On rappelle que le fournisseur B garantit 94 % d'étuis non défectueux.
Un employé de l'entreprise prélève un échantillon de 400 étuis qui proviennent du fournisseur B. Il constate que 350 de ces étuis ne sont pas défectueux.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de 400 étuis provenant du fournisseur B.
    On donnera des valeurs approchées au millième des bornes de cet intervalle.

  2. Faut-il informer le fournisseur B d'un problème ?

partie c

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre 19,8 mm et 20,2 mm.
Le fournisseur B souhaite qu'au moins 95 % des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.
On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B.
On note X la variable aléatoire associée à l'épaisseur (en mm) de l'étui. On admet que X suit une loi normale d'espérance 20 mm.

  1. En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l'écart-type de X est égal à 0,2.
    Justifier qu'il faut revoir les réglages des machines.

  2. Déterminer une valeur de l'écart-type de X pour laquelle la probabilité qu'un étui soit conforme est environ égale à 0,95.




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