Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, la Réunion 2017

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

  1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps T1 avant d'être pris en charge par le caissier.
    On considère que ce temps d'attente T1 exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle 012.

    1. Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ?

    2. Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ?

  2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles.
    Le temps d'attente T2, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart type 1,5.
    Calculer la probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.

  3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes.

    • Le nombre de caisses automatiques est n=10.
    • La probabilité qu'une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p=0,1.
    • Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques.

    Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.

    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ses paramètres.

    2. Calculer la probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.

  4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :
    « Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques.»

    Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d'entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.
    Cela remet-il en question l'affirmation du gérant ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Au 1er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

partie a

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite un telle que u0=900 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,75×un+12.
Le terme un donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de n mois.

  1. Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1er mars 2017.

  2. On définit la suite vn par vn=un-48 pour tout entier naturel n.

    1. Montrer que vn est une suite géométrique de raison 0,75.

    2. Préciser v0 et exprimer vn en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=852×0,75n+48.

  3. La présidente de l'association déclare qu'elle démissionnera si le nombre d'adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l'hypothèse que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?

partie b

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l'association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l'année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l'algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

  1. Recopier et compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le montant total des cotisations de l'année 2017.

    Variables :

    S est un nombre réel
    N est un entier
    U est un nombre réel

    Initialisation

    S prend la valeur 0
    U prend la valeur 900

    Pour N allant de 1 à 12 :

    • Affecter à S la valeur …
    • Affecter à U la valeur 0,75U+12

    Fin Pour

    Sortie

  2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Dans un jeu vidéo, une suite d'énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories: les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

Pour n1, on note :

  1. Donner la matrice P1.

  2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

  3. Écrire la matrice M associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne P2.

  4. Sachant que, pour tout entier n1, on a : an+bn=1, montrer que, pour tout entier n1, on a : an+1=0,75an+0,1.

  5. Pour tout entier naturel n1, on pose vn=an-0,4.

    1. Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vn en fonction de n, puis montrer que pour tout entier n1 : an=0,8×0,75n+0,4.

    3. Préciser la limite de la suite vn.

    4. Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d'avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ?

partie b

Une des énigmes consiste à réaliser un parcours en un minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L'étiquette de chaque arête indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu'elle relie. Par exemple, le temps de parcours de C vers D, ou de D à C, est égal à quatre minutes.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de A à G en minimisant son temps de parcours? Expliquer la démarche utilisée.


exercice 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l'aide de deux fonctions f et g définies par : pour tout réel x de 01, fx=1-xe3x et gx=x2-2x+1.
Leurs courbes représentatives seront notées 𝒞f et 𝒞g.

Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

dériver ((1-x)*exp(3x))
: -3*x*exp(3*x)+2*exp(3*x)
 
factoriser -3x*exp(3*x)+2*exp(3*x)
: exp(3x)*(-3x+2)
 
factoriser(dériver (exp(3x)(-3x+2)))
: 3*exp(3*x)(1-3x)

Lecture : la dérivée de la fonction f est donnée par fx=-3xe3x+2e3x, ce qui, après factorisation, donne fx=-3x+2e3x.

  1. Étudier sur 01 le signe de la fonction dérivée f, puis donner le tableau de variation de f sur 01 en précisant les valeurs utiles.

  2. La courbe 𝒞f possède un point d'inflexion. Déterminer ses coordonnées.

partie b

On se propose de calculer l'aire de la partie grisée sur le graphique.

  1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives 10 et 01 sont des points communs aux courbes 𝒞f et 𝒞g.

  2. On admet que : pour tout x dans 01, fx-gx=1-xe3x-1+x.

    1. Justifier que pour tout x dans 01, e3x-10.

    2. En déduire que pour tout x dans 01, e3x-1+x0.

    3. Étudier le signe de fx-gx pour tout x dans 01.

    1. Calculer 01gxdx.

    2. On admet que : 01fxdx=e3-49. Calculer l'aire S, en unité d'aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.


exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de 2017 est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.
Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire X telle que pour tout entier c compris entre 1 et 9, PX=c=lnc+1-lncln10Cette loi est appelée loi de Benford.

  1. Que vaut PX=1 ?

  2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.

    1. Premier cas.

      Un fichier statistique de l'INSEE indique la population des communes en France au 1er janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d'outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
      À partir de ce fichier, on constate qu'il y a 36677 communes habitées. Parmi elles, il y a 11094 communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.

      Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l'affirmation : « le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford » ?

    2. Deuxième cas.

      Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
      On désigne par X la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d'un candidat pris au hasard.

      La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour X ?



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