Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Sud 2017

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=11+5lnx.
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est :

    a. y=5x+11

    b. y=5x+6

    c. y=11x-6

    d. y=5x+16

  2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=11+5lnx.
    L'équation fx=0 d'inconnue x a pour solution :

    a. -e115

    b. -ln115

    c. e-115

    d. -e-115

  3. On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.
    On note X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de 6 qu'on obtient.
    La probabilité pX=1 d'obtenir exactement un 6, arrondie à 10-2, est :

    a. 0,08

    b. 0,17

    c. 0,40

    d. 0,80

  4. On considère une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l'intervalle 27.
    La fonction de densité de T est représentée ci-dessous.

    Courbe représentative de la loi uniforme : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La probabilité conditionnelle PT3T5 est égale à :

    a. 12

    b. 35

    c. 25

    d. 34


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Mathieu dispose d'un capital de 20 000 euros qu'il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d'épargne.

On note an le capital, en euro, acquis au bout de n années si Mathieu choisit le contrat A. bn le capital, en euro, acquis au bout de n années si Mathieu choisit le contrat B.

On a donc a0=b0=20 000 et, pour tout entier naturel n, an+1=1,04anetbn+1=1,025bn+330

  1. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.

    1. Calculer la valeur, arrondie à l'euro, du capital disponible au bout de 10 ans.

    2. Déterminer le pourcentage d'augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de 10 ans. Arrondir le résultat à 1 %.

  2. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.
    On considère la suite un définie pour tout entier naturel n par un=13200+bn.

    1. Montrer que la suite un est géométrique de raison 1,025 et calculer son premier terme u0.

    2. Donner l'expression de un en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a bn=33200×1,025n-13200.

    4. Déterminer au bout de combien d'années le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros.

  3. On considère l'algorithme suivant :

    A20 000
    B20 000
    N0

    Tant que AB
    A1,04×A
    B1,025×B+330
    NN+1
    Fin Tant que

    1. Le tableau ci-dessous traduit l'exécution pas à pas de l'algorithme.
      Recopier et compléter ce tableau en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de A et de B seront arrondies à l'unité.

      Valeur de A20 000
      Valeur de B20 000
      Valeur de N0
      Condition AB vraie
    2. Donner la valeur de N calculée par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Pour les déplacements entre les principales villes d'une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d'abonnement bus (PassBus), soit la carte d'abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.
Une étude récente montre que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et T où le sommet B représente l'état « abonné PassBus » et T l'état « abonné PassTrain ».

  2. Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre B, T des sommets.

  3. En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25 % de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75 %.
    Quelle sera la part, en 2019, des abonnements PassBus dans l'ensemble des abonnements ? Donner le résultat en pourcentage arrondi à 0,1 %.

  4. Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

partie b

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.
Les sommets représentent les villes et les arêtes représentent les voies ferrées.
Sur les arêtes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilomètre entre les villes de la région.

Graphe du réseau ferroviaire : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.


EXERCICE 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise d'élevage de poissons en bassin a constaté qu'une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.
Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l'un au mois de janvier et l'autre au mois de juin, afin d'étudier l'évolution de l'infection.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard 1000 poissons parmi l'ensemble des poissons du bassin.
La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est f1=5%.
Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau 1000 poissons .
Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est f2=10%.
La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d'arrêter la vente des poissons de l'entreprise.
On note p1 la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et p2 la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.

  1. Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion p1 puis de la proportion p2.
    On arrondira les bornes des intervalles à 10-3.

  2. Quel argument pourrait donner l'entreprise pour éviter l'arrêt de la vente ?

partie b

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d'un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :

Pour un poisson prélevé au hasard, on note :

On note x la probabilité qu'un poisson soit infecté par la bactérie.

  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré traduisant cette situation.

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Démontrer que pT=0,5x+0,1.

    2. Le laboratoire a constaté que 12,5 % des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif.
      Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer pour ce prélèvement ?

partie c

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.
Le temps de guérison d'un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne μ=21 et d'écart-type σ=5.
Les résultats seront arrondis au millième.

  1. Déterminer la probabilité p14<X<28.

  2. Déterminer la probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative 𝒞f d'une fonction f définie sur l'intervalle 02.
On suppose que f est deux fois dérivable et on note f la fonction dérivée de f.

On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

On suppose que la fonction f est définie sur l'intervalle 02 par fx=ax+be-2xa et b sont deux réels à déterminer.

  1. En utilisant le graphique et les données de l'énoncé, déterminer f0 et f0,25.

  2. Déterminer l'expression de fx en fonction de a et b.

  3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs des réels a et b.

partie b

On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle 02 par fx=4x+1e-2x.
On admet par ailleurs que fx=4-8xe-2x et fx=16x-12e-2xf désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l'intervalle 02.

  1. Étudier le signe de f sur 02 puis en déduire les variations de f sur 02.

  2. Montrer que la courbe 𝒞f admet, sur l'intervalle 02, un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

  3. Soit F la fonction définie sur l'intervalle 02 par Fx=-2x-1,5e-2x.

    1. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur 02.

    2. En déduire l'aire exacte 𝒜, en unité d'aire, du domaine D du plan situé entre 𝒞f l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=2.

    3. Déterminer la valeur moyenne, arrondie à 10-1, de la fonction f sur l'intervalle 02.



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