Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane septembre 2017

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier l'affirmation choisie.

  1. Des élections doivent se dérouler dans un certain pays. Deux candidats se présentent, le candidat A et le candidat B.
    Avant les élections, un organisme de sondage veut estimer la proportion d'électeurs qui voteront pour le candidat A. Pour cela il réalise un sondage auprès d'un échantillon de 1050 électeurs. Parmi eux, 504 annoncent vouloir voter pour le candidat A et tous les autres pour le candidat B.

    • Affirmation 1 : c'est certain, le candidat A va perdre l'élection.

    • Affirmation 2 : le candidat A aura 48 % des voix le jour de l'élection.

    • Affirmation 3 : la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91 % et 51,09 % des votes est d'environ 0,48.

    • Affirmation 4 : la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91 % et 51,09 % des votes est d'environ 0,95.

  2. Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe 𝒞f d'une fonction f définie et continue sur l'intervalle 07. Les points A et B ont pour coordonnées A25 et B46,8. La droite (AB) est tangente à la courbe 𝒞f au point A.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. La tangente à la courbe 𝒞f au point A admet pour équation :

      • Affirmation 1 : y=-0,9x+3,2.

      • Affirmation 2 : y=0,9x+3,5.

      • Affirmation 3 : y=0,9x+3,2.

      • Affirmation 4 : y=1,8x+3,2.

      • Affirmation 1 : f005fxdxf5.

      • Affirmation 2 : 227fxdx7.

      • Affirmation 3 : 1805fxdx19.

      • Affirmation 4 : 2527fxdx31.

  3. On écrit les deux algorithmes suivants :

    • V10
    • S10
    • N10
    • V10
    • S10

    Tant que S50

    • V1,05×V
    • SS+V
    • NN+1

    Fin Tant que

    Pour K allant de 1 à 4

    • V1,05×V
    • SS+V

    Fin Pour

    Algorithme 1Algorithme 2
      • Affirmation 1 : la dernière valeur de N calculée par l’algorithme 1 est comprise entre 43 et 44.

      • Affirmation 2 : la dernière valeur de N calculée par l’algorithme 1 est comprise entre 55 et 56.

      • Affirmation 3 : la dernière valeur de N calculée par l’algorithme 1 est égale à 3.

      • Affirmation 4 : la dernière valeur de N calculée par l’algorithme 1 est égale à 4.

      • Affirmation 1 : la dernière valeur de S calculée par l’algorithme 2 est comprise entre 43 et 44.

      • Affirmation 2 : la dernière valeur de S calculée par l’algorithme 2 est comprise entre 55 et 56.

      • Affirmation 3 : la dernière valeur de S calculée par l’algorithme 2 est égale à 3.

      • Affirmation 4 : la dernière valeur de S calculée par l’algorithme 2 est égale à 4.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20 % des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter 30 vélos par an.
Le 1er janvier 2017, le parc contient 200 vélos utilisables.
On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite un dans laquelle, pour tout entier naturel n, un est le nombre de vélos le 1er janvier de l'année 2017+n.
Ainsi u0=200 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,8×un+30.

    1. Justifier le coefficient 0,8 dans l'expression de un+1 en fonction de un.

    2. Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1er janvier 2018 ?

  1. On définit la suite vn par vn=un-150 pour tout entier naturel n.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v0.

    2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=50×0,8n+150.

    4. La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160.
      En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ?

  2. Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1er janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
    Cette subvention s'élève à 20 euros par vélo disponible à la location.

    1. Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à 7800 euros.

    2. Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes

partie a

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants.
Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.
Le 1er janvier 2017, la ville compte 5 % d'abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :

On note A l'état : « un habitant est abonné » et P l'état: « un habitant n'est pas abonné ».
Pour tout entier naturel n, on désigne par an la probabilité qu'un habitant soit abonné l'année 2017+n et pn la probabilité qu'un habitant ne soit pas abonné l'année 2017+n.
La matrice ligne Rn=anpn donne l'état probabiliste du nombre d'abonnés l'année 2017+n.
Ainsi R0=a0p0=0,050,95.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P où le sommet A représente l'état « un habitant est abonné » et P l'état « un habitant n'est pas abonné ».

  2. Déterminer la matrice de transition T de ce graphe en respectant l'ordre A puis P des sommets.

  3. Déterminer R1.

  4. Déterminer l'état probabiliste en 2021.Les résultats seront arrondis au millième.

  5. On admet qu'il existe un état stable xy.

    1. Justifier que x et y sont solutions du système : {-7x+y=0x+y=1.

    2. Déterminer l'état stable de ce graphe.

partie b

Le responsable du service de location souhaite vérifier l'état des pistes cyclables reliant les parkings à vélos de location disposés dans la ville. On modélise la disposition des lieux par le graphe étiqueté ci-dessous dont les sommets représentent les parkings à vélo. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d'un parking à l'autre en suivant la piste cyclable.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin ?

  2. Le responsable est pressé. Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Chaque année, les organisateurs d'une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.
Les organisateurs ont constaté que 50 % des coureurs choisissent le parcours vert, 30 % choisissent le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.
Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que :

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

partie a

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d'être choisis. On note :

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

  2. Calculer la probabilité de l'évènement VA. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  3. Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le parcours vert ?

  4. Démontrer que PBA=0,012.

  5. En déduire la probabilité PBA. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

partie b

Le temps hebdomadaire d'entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale dont l'espérance est de 6 heures et l'écart type est de 2 heures.

  1. Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres μ=6 et d'écart-type σ=2? Justifier la réponse.

    Graphique 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Graphique 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    graphique 1graphique 2
  2. Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.

    1. Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5 h et 7 h ?

    2. Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4 h ?


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 125 par fx=10-e0,2x+1x.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :

fx:10-e˄0.2x+1/x
x10-exp0.2x+1x
factoriser(deriver(fx))
exp0.2x+1*1-0.2xx2
factoriser(deriver(deriver(fx)))
exp0.2x+1*-x2+10x-5025x3
  1. Retrouver par le calcul l'expression factorisée de fxf est la fonction dérivée de f.

  2. Étudier le signe de f sur l'intervalle 125 et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle 125. On arrondira les valeurs au millième.

  3. On s'intéresse à l'équation fx=0.

    1. Montrer que l'équation fx=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle 15.

    2. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α sur l'intervalle 525.

    3. Déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de la solution α.

    4. En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction f est concave sur l'intervalle 125.

partie b

Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de x dizaines de tonnes d'aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A ci-dessus.
La production minimale est de 10 tonnes, ainsi x1.

Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.

  1. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ?
    Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?

  2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.



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