Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichéry 2017

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 010 dont la courbe représentative 𝒞 est donnée ci-dessous dans un repère d'origine O :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

  1. Le nombre de solutions sur l'intervalle 010 de l'équation fx=0 est égal à :

     a. 1

     b. 2

     c. 3

  2. Le nombre réel f7 est :

     a. nul

     b. strictement positif

     c. strictement négatif

  3. La fonction f est :

     a. croissante sur 010

     b. croissante sur 47

     c. décroissante sur 47

  4. On admet que pour tout x de l'intervalle 010 on a : fx=lnx-x2+1.
    La courbe 𝒞 admet sur cet intervalle un point d'inflexion :

     a. d'abscisse 2,1

     b. d'abscisse 0,9

     c. d'abscisse 2


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.
Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à 10-3 près.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les évènements suivants :

On rappelle que si E et F sont deux évènements, la probabilité de l'évènement E est notée PE et celle de E sachant F est notée PFE. De plus E¯ désigne l'évènement contraire de E.

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l'exercice :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans.

    2. Vérifier que PB¯0,123.

    3. Calculer PB¯A et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.

partie b

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d'espérance μ=250 et d'écart-type σ=39.

  1. Calculer P210T270.

  2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.
    Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de 240 minutes.

    1. Calculer PT300.

    2. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel t, arrondi à l'unité, vérifiant PTt=0,9.

    3. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite un définie par u0=150 et pour tout entier naturel n, un+1=0,8un+45.

  1. Calculer u1 et u2.

  2. Voici deux propositions d'algorithmes :

    Variables :

    • N est un entier naturel
    • U est un nombre réel

    Variables :

    • N est un entier naturel
    • U est un nombre réel

    Initialisation :

    • U prend la valeur 150
    • N prend la valeur 0

    Initialisation :

    • U prend la valeur 150
    • N prend la valeur 0

    Traitement :

    Tant que U220

    • U prend la valeur 0,8×U+45
    • N prend la valeur N+1

    Fin Tant que

    Traitement :

    Tant que U<220

    • U prend la valeur 0,8×U+45
    • N prend la valeur N+1

    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher N

    Sortie :

    Afficher N

    Algorithme 1Algorithme 2
    1. Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel n tel que un220.
      Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.

    2. Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ?

  3. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par : vn=un-225.

    1. Démontrer que vn est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

    2. En déduire que pour tout entier naturel n, un=225-75×0,8n.

  4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.
    On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

    • 20 % des participants ne reviennent pas l'année suivante ;
    • 45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.

    La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250.
    Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Alexis part en voyage dans l'Est des États-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :

Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

    1. Quelles caractéristiques du graphe permettent d'affirmer qu'il existe un trajet qui permet à Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?

    2. Donner un exemple d'un tel trajet.

  1. Alexis veut relier Boston à Miami.
    En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.

    1. Donner la matrice d'adjacence P de ce graphe en classant les sommets par ordre alphabétique.

    2. Alexis souhaite aller d'Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
      Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces trajets.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative 𝒞 d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 07.

  1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation fx=10 sur l'intervalle 07.

  2. Donner le maximum de la fonction f sur l'intervalle 07 et préciser la valeur en laquelle il est atteint.

  3. La valeur de l'intégrale 13fxdx appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?

     a. 917

     b. 1826

     c. 2735

partie b

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 07 d'expression :fx=2xe-x+3
On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

  1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle 07, fx=-2x+2e-x+3.

    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 07 puis en déduire le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle.

    2. Calculer le maximum de la fonction f sur l'intervalle 07.

    1. Justifier que l'équation fx=10 admet deux solutions sur l'intervalle 07 que l'on notera α et β avec α<β.

    2. On admet que α0,36 à 10-2 près.
      Donner une valeur approchée de β à 10-2 près.

  2. On considère la fonction F définie sur l'intervalle 07 par :Fx=-2x-2e-x+3

    1. Justifier que F est une primitive de f sur l'intervalle 07.

    2. Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation x=1, x=3, l'axe des abscisses et la courbe 𝒞.

  3. La fonction f étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de f centaines d'objets (f compris entre 0 et 7).

    1. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets.

    2. L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros.
      Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.

annexe

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.



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