Baccalauréat septembre 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie session septembre 2017

corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La courbe 𝒞 tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d'origine O est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $] 0; 10]$ .

On considère les points $P (1; 3)$ et $R (4; 6)$ . Le point Q a pour abscisse e, avec $e \approx 2,718$ .
Les points P et Q appartiennent à la courbe 𝒞. La droite 𝒟 est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point Q.
La droite (PR) est tangente à la courbe 𝒞 au point P et la droite 𝒟 est tangente à la courbe 𝒞 au point Q.
On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Dans cette partie, les résultats seront donnés à l'aide d'une lecture graphique et sans justification.

Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui désigne l'équation de la droite (PR) ?
Les points P et R n'ont pas la même abscisse donc une équation de la tangente (PR) est : $\begin{array}{rcl} y = \frac{y_{R} - y_{P}}{x_{R} - x_{P}} \times (x - x_{P}) + y_{P} & soit & y = \frac{6 - 3}{4 - 1} \times (x - 1) + 3 \\ \Leftrightarrow & y = (x - 1) + 3 \\ \Leftrightarrow & y = x + 2 \end{array}$
a. $y = 2 x + 1$
b. $y = x + 2$
c. $y = 2 x + 2$
Donner les valeurs de $f (1)$ et $f' (1)$ .
- Le point $P (1; 3)$ appartient à la courbe 𝒞 d'où $f (1) = 3$ .
- La tangente à la courbe 𝒞 au point a P pour équation $y = x + 2$ d'où $f' (1) = 1$ .
Une seule de ces trois propositions est exacte :
La courbe 𝒞 est située en dessous de chacune de ses tangentes donc f est concave sur l'intervalle $] 0; 10]$
1. f est convexe sur l'intervalle $] 0; 10]$ ;
2. f est concave sur l'intervalle $] 0; 10]$ ;
3. f n'est ni convexe ni concave sur l'intervalle $] 0; 10]$ .
Encadrer l'intégrale $\int_{1}^{2} f (x) d x$ par deux entiers consécutifs.
Sur l'intervalle $[1; 2]$ la fonction f est positive donc l'intégrale $\int_{1}^{2} f (x) d x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ .
À l'aide du quadrillage, on en déduit que $3 < \int_{1}^{2} f (x) d x < 4$ .

partie b

La courbe 𝒞 est la représentation graphique de la fonction f définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $f (x) = - x \ln x + 2 x + 1$ .

Calculer $f' (x)$ .
$f = u \times v + w$ d'où $f' = u' v + u v' + w'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ : ${\begin{matrix} u (x) = - x & d'où & u' (x) = - 1 \\ v (x) = \ln x & d'où & v' (x) = \frac{1}{x} \\ w (x) = 2 x + 1 & d'où & w' (x) = 2 \end{matrix}$
Soit pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ , $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & - \ln x + (- x) \times \frac{1}{x} + 2 \\ = & - \ln x + 1 \end{array}$
$f'$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ par $f' (x) = - \ln x + 1$ .

Démontrer que la fonction f admet un maximum sur l'intervalle $] 0; 10]$ .

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

Pour tout réel x strictement positif, $\begin{array}{rcl} - \ln x + 1 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & \ln x ⩾ 1 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ e \end{array}$

Nous pouvons en déduire le signe de $f' (x)$ ainsi que les variations de la fonction f :

x	0		e		10
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$			$e + 1$

Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction f sur ce même intervalle.
Le maximum de la fonction f est atteint pour $x = e$ : $f (e) = - e \times \ln e + 2 e + 1 = e + 1$
Le maximum de la fonction f est $f (e) = e + 1$ .

Montrer que la courbe 𝒞 est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $] 0; 10]$ .
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.
Or pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ : $f ″ (x) = - \frac{1}{x}$ . Donc sur l'intervalle $] 0; 10]$ , $f ″ (x) < 0$ .
On en déduit que la fonction f est concave donc la courbe 𝒞 est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $] 0; 10]$ .
On admet que la fonction F définie par $F (x) = - \frac{x^{2}}{2} \ln x + \frac{5}{4} x^{2} + x - 7$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $] 0; 10]$ . Calculer la valeur exacte de $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .
F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $] 0; 10]$ donc : $\begin{array}{rcl} \int_{1}^{2} f (x) d x & = & F (2) - F (1) \\ = & (- \frac{2^{2}}{2} \times \ln 2 + \frac{5}{4} \times 2^{2} + 2 - 7) - (- \frac{1^{2}}{2} \times \ln 1 + \frac{5}{4} \times 1^{2} + 1 - 7) \\ = & - 2 \ln 2 + \frac{19}{4} \end{array}$
$\int_{1}^{2} f (x) d x = \frac{19}{4} - 2 \ln 2$ .

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