Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie 2017

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie et dérivable sur 0+ par : fx=1+lnx.
On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On note f la fonction dérivée de la fonction f sur 0+.

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.

Camembert : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Source : CREDOC, Enquêtes sur les « Conditions de vie et les aspirations », juin 2016.

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.
On note D l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile ».
On note M l'évènement« la personne dispose d'une connexion internet en mobilité ».

On rappelle que si E et F sont deux évènements, pE désigne la probabilité de l'évènement E et pFE désigne la probabilité de l'évènement E sachant que l'évènement F est réalisé. On note E¯ l'évènement contraire de E.

partie a

  1. Donner sans justification pDM, puis justifier que pD=0,85.

  2. Calculer la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité.

  3. Calculer la probabilité de l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet ».

  4. Calculer pM¯D¯.

partie b

On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.
Soit X la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.

  1. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

  2. Déterminer PX75. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

partie c

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100.

  2. Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d'un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les 100 habitants de plus de 12 ans de ce village, 76 d'entre eux disposent d'une connexion internet fixe au domicile.
    Que peut-on penser de l'équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?


exercice 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞f d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle -32. On note f la fonction dérivée de la fonction f.
Le point A de coordonnées 03 appartient à la courbe 𝒞f.
B est le point d'abscisse 1 appartenant à la courbe 𝒞f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On dispose des informations suivantes :

Chaque réponse devra être justifiée.

  1. Donner la valeur de f1.

  2. Quel est le signe de f-2 ?

  3. Donner la valeur de f0.

  4. Le point A est-il un point d'inflexion de la courbe 𝒞f ?

  5. Déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de 01fxdx.

partie b

On admet qu'il existe trois réels a, b et c pour lesquels la fonction f représentée dans la partie A est définie, pour tout réel x de -32, par : fx=ax2+bx+cex+5.

  1. En utilisant l'un des points du graphique, justifier que c=-2.

  2. On admet que la fonction dérivée f est donnée, pour tout réel x de -32, par : fx=ax2+2a+bx-2+bex.
    En utilisant les résultats de la partie A, justifier que b=2,5 puis que a=-1.

partie c

On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de -32 par fx=-x2+2,5x-2ex+5.

  1. Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle -32, fx=-x2+0,5x+0,5ex.

  2. Étudier le signe de f puis dresser le tableau de variation de f sur -32.

    1. Justifier que l'équation fx=0 admet une unique solution α sur 12.

    2. Donner la valeur de α arrondie au centième.


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour l'année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement : « Approfondissement » ou « Ouverture culturelle ».
Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20 % des élèves de la classe ont choisi « Approfondissement » et tous les autres ont choisi « Ouverture culturelle », On admet que

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.

Pour tout entier naturel n non nul, on note An l'évènement « l'élève a choisi « Approfondissement » la n-ième semaine » et pn la probabilité de l'évènement An. On a alors p1=0,2.

  1. Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel n, pn+1=0,5pn+0,2.

  3. On considère la suite un définie pour tout entier naturel n non nul par un=pn-0,4.

    1. Démontrer que la suite un est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de son premier terme u1.

    2. En déduire pour tout entier naturel n l'expression de un en fonction de n, puis l'expression de pn en fonction de n.

    3. Déterminer la limite de la suite un et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  4. On considère l'algorithme suivant :

    Variables

    I et N sont des entiers naturels strictement supérieurs à 1
    P est un nombre réel

    Entrée

    Saisir N

    Initialisation

    P prend la valeur 0,2

    Traitement

    Pour I allant de 2 à N :
    P prend la valeur 0,5P+0,2
    Fin Pour

    Sortie

    Afficher P

    1. Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur N=5.

    2. Modifier l'algorithme afin qu'il affiche le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi « Approfondissement » dépasse 39,9.


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement: « Approfondissement » ou « Ouverture culturelle ».
Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20 % des élèves de la classe ont choisi « Approfondissement » et tous les autres ont choisi « Ouverture culturelle ». On admet que, chaque semaine,

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines.
On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d'option au fil des semaines.

  1. On note A l'état « L'élève a choisi Approfondissement » et B l'état « L'élève a choisi Ouverture culturelle ».

    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

    2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.

  2. On note P1 la matrice traduisant l'état probabiliste de la première semaine. Ainsi P1=0,20,8.

    1. Donner la matrice M2 puis déterminer la probabilité que l'élève ait choisi « Approfondissement » lors de la troisième semaine.

    2. À long terme, quelle est la probabilité qu'un élève choisisse « Approfondissement » ?

  3. Pour tout entier naturel non nul n on note :

    • an la probabilité que l'élève interrogé ait choisi « Approfondissement » lors de la n-ième semaine,
    • bn la probabilité que l'élève interrogé ait choisi « Ouverture culturelle » lors de la n-ième semaine.

    Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : an+1=0,5an+0,2.

  4. On admet que pour tout entier naturel n non nul, on a : an=0,4-0,4×0,5n.
    Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation suivante : 0,4-0,4×0,5n>0,399.

    1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel n non nul tel que an>0,399.

      Variables

      N est un entier naturel
      A est un nombre réel

      Initialisation

      Affecter à N la valeur 1
      Affecter à A la valeur 0,2

      Traitement

      ……

      Affecter à A la valeur 0,5A+0,2

      ……

      Sortie

      Afficher N

    2. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.



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