Soit f la fonction définie et dérivable sur par : .
On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On note la fonction dérivée de la fonction f sur .
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
affirmation 1
On note F la primitive sur de la fonction f qui vérifie .
Pour tout réel x strictement positif, .
affirmation 2
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
affirmation 3
L'équation possède exactement une solution dans l'intervalle .
affirmation 4
Il existe au moins un point de la courbe 𝒞 pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe 𝒞.
Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.
Source : CREDOC, Enquêtes sur les « Conditions de vie et les aspirations », juin 2016.
On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.
On note D l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile ».
On note M l'évènement« la personne dispose d'une connexion internet en mobilité ».
On rappelle que si E et F sont deux évènements, désigne la probabilité de l'évènement E et désigne la probabilité de l'évènement E sachant que l'évènement F est réalisé. On note l'évènement contraire de E.
Donner sans justification , puis justifier que .
Calculer la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité.
Calculer la probabilité de l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet ».
Calculer .
On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.
Soit X la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.
Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Déterminer . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100.
Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d'un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les 100 habitants de plus de 12 ans de ce village, 76 d'entre eux disposent d'une connexion internet fixe au domicile.
Que peut-on penser de l'équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle . On note la fonction dérivée de la fonction f.
Le point A de coordonnées appartient à la courbe .
B est le point d'abscisse 1 appartenant à la courbe .
On dispose des informations suivantes :
Chaque réponse devra être justifiée.
Donner la valeur de .
Quel est le signe de ?
Donner la valeur de .
Le point A est-il un point d'inflexion de la courbe ?
Déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de .
On admet qu'il existe trois réels a, b et c pour lesquels la fonction f représentée dans la partie A est définie, pour tout réel x de , par : .
En utilisant l'un des points du graphique, justifier que .
On admet que la fonction dérivée est donnée, pour tout réel x de , par : .
En utilisant les résultats de la partie A, justifier que puis que .
On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de par .
Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle , .
Étudier le signe de puis dresser le tableau de variation de f sur .
Justifier que l'équation admet une unique solution α sur .
Donner la valeur de α arrondie au centième.
Pour l'année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement : « Approfondissement » ou « Ouverture culturelle ».
Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.
La première semaine, 20 % des élèves de la classe ont choisi « Approfondissement » et tous les autres ont choisi « Ouverture culturelle », On admet que
On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.
Pour tout entier naturel n non nul, on note l'évènement « l'élève a choisi « Approfondissement » la n-ième semaine » et la probabilité de l'évènement . On a alors .
Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.
Montrer que, pour tout entier naturel n, .
On considère la suite définie pour tout entier naturel n non nul par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de son premier terme .
En déduire pour tout entier naturel n l'expression de en fonction de n, puis l'expression de en fonction de n.
Déterminer la limite de la suite et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On considère l'algorithme suivant où N est un entier :
Pour I allant de 2 à N
Fin Pour
Donner la valeur de la variable P à la fin de l'exécution de cet algorithme lorsque .
Modifier l'algorithme afin qu'il calcule le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi « Approfondissement » dépasse 39,9.
Pour l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement: « Approfondissement » ou « Ouverture culturelle ».
Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.
La première semaine, 20 % des élèves de la classe ont choisi « Approfondissement » et tous les autres ont choisi « Ouverture culturelle ». On admet que, chaque semaine,
On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines.
On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d'option au fil des semaines.
On note A l'état « L'élève a choisi Approfondissement » et B l'état « L'élève a choisi Ouverture culturelle ».
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
On note la matrice traduisant l'état probabiliste de la première semaine. Ainsi .
Donner la matrice puis déterminer la probabilité que l'élève ait choisi « Approfondissement » lors de la troisième semaine.
À long terme, quelle est la probabilité qu'un élève choisisse « Approfondissement » ?
Pour tout entier naturel non nul n on note :
Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : .
On admet que pour tout entier naturel n non nul, on a : .
Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation suivante : .
Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule le plus petit entier naturel n non nul tel que .
............................
……
............................
Quelle est la valeur de la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.