sujet : Polynésie session septembre 2017

corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ par : $f\left(x\right)=4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+x-1$. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée.
On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative 𝒞 de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ dans un repère d'origine O.

partie a

1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[1;10\right]$ on a : $f\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+1$.

   Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[1;10\right]$ on a :$$f\prime \left(x\right)=4\times \left(-\mathrm{0,5}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+1=-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+1$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+1$.

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2. 1. Montrer que sur l'intervalle $\left[1;10\right]$, l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet pour unique solution le nombre $\alpha =2+2\ln 2$.

      Pour tout nombre réel x, $$\begin{array}{rcl}-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+1=0& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & \iff & -\mathrm{0,5}x+1=-\ln 2\\ & \iff & -\mathrm{0,5}x=-1-\ln 2\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{-1-\ln 2}{-\mathrm{0,5}}}\\ & \iff & x=2+2\ln 2\approx \mathrm{3,4}\end{array}$$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[1;10\right]$, l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet pour unique solution le nombre $\alpha =2+2\ln 2$.

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   2. Placer sur le graphique fourni en annexe le point de la courbe 𝒞 d'abscisse α.

3. On admet que l'ensemble des solutions sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$ est $\left[2+2\ln 2;10\right]$.
   En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;10\right]$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

   x	1		$2+2\ln 2$		10
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$4\sqrt{\mathrm{e}}$		$2+3\ln 2$		$4{\mathrm{e}}^{-4}+9$

partie b

L'entreprise « COQUE EN STOCK » fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable. Son usine est en mesure de produire entre 100 et 1000 coques par jour.
La fonction f permet de modéliser le coût de production d'une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si x désigne le nombre de centaines de coques produites alors $f\left(x\right)$ représente le coût, en euros, de production d'une coque.

1. Calculer, au centime près, le coût de production d'une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour.

   $$f\left(5\right)=4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}+4\approx \mathrm{4,89}$$

   Dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour, le coût de production d'une coque est d'environ 4,89 euros.

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2. 1. Montrer que produire 339 coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.

      Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=2+2\ln 2\approx \mathrm{3,39}$.

      Pproduire 339 coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.

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   2. En déduire le coût minimal de production d'une coque, en euros, au centime près.

      $$f\left(2+2\ln 2\right)=4{\mathrm{e}}^{-\ln 2}+1+2\ln 2=3+2\ln 2\approx \mathrm{4,39}$$

      Le coût de production minimal d'une coque est d'environ 4,39 euros.

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partie c

Le prix de vente d'une coque peut être modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ par : $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+6$ où x désigne le nombre de centaines de coques produites et $g\left(x\right)$ le prix de vente d'une coque en euros.

Estimer les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise.

L'entreprise réalise un bénéfice si le coût de production d'une coque est inférieur au prix de vente. C'est à dire pour toute production x tel que $f\left(x\right)<g\left(x\right)$.
Soit pour l'ensemble des réels x de l'intervalle $\left[1;10\right]$ solutions de l'inéquation :$$\begin{array}{ccc}4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+x-1<-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+6& \iff & 4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+{\displaystyle \frac{5}{4}}x-7<0\end{array}$$

Comme on ne sait pas résoudre algébriquement cette inéquation, à l'aide du graphique et de la calculatrice on détermine l'intervalle de production tel que $f\left(x\right)<g\left(x\right)$.

• Soit 𝒟 la courbe représentative de la fonction g. Graphiquement, l'entreprise réalise un bénéfice quand la courbe 𝒞 est en dessous de 𝒟. Soit entre les deux points d'intersection A et B

• À l'aide de la calculatrice, on détermine les abscisses $x_A$ et $x_B$ solutions de l'équation $$4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+1}+x-1=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+6$$ avec $x_A\in \left[1;2+2\ln 2\right]$ et $x_B\in \left[2+2\ln 2;10\right]$. On trouve $x_A\approx \mathrm{1,508}$ et $x_B\approx \mathrm{4,818}$.

Avec des valeurs approchées au centième près, et compte tenu des variations de la fonction f on a $f\left(x\right)<g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{1,51};\mathrm{4,81}\right]$.

L'entreprise réalise un bénéfice pour toute production comprise entre 151 et 481 coques par jour.

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