Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2017

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. On considère la fonction g définie sur 0+ par gx=2x.
    La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle 1e est :

    a. 2

    b. 1e-1

    c. 2e-1

    d. -2e-1

  2. On considère une variable aléatoire X suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité f associée à la variable X.

    Courbe représentative de la loi normale : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. L'espérance de X est 0,4.

    2. L'espérance de X est 0,95.

    3. L'écart-type de X est environ 0,4.

    4. L'écart-type de X est environ 0,2.

  3. À l'occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de 10 euros d'achats. L'hypermarché affirme que 15 % des tickets à gratter sont gagnants, c'est-à-dire donneront droit à un bon d'achat de 5 euros.
    Amandine a reçu 50 tickets à gratter après un achat de 500 euros dans cet hypermarché. Deux d'entre eux étaient gagnants.
    On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu'un échantillon de 50 tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.

    1. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est 0,0510,249, les bornes étant arrondies au millième.

    2. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est 0,1000,200, les bornes étant arrondies au millième.

    3. La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est 50500.

    4. Amandine peut annoncer avec un risque de 5 % que l'affirmation de l'hypermarché n'est pas mensongère.


exercice 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes

partie a : L'accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO2.
En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent CO2 contre 559 mégatonnes en 1990.

  1. Dans l'accord de Kyoto, la France s'est engagée à réduire ses GES de 8 % entre 1990 et 2012.
    Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.

  2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6 % par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO2 émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à 0,1.

partie b : Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO2.
En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total.
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de milliers de tonnes de CO2 émis dans cette zone industrielle au cours de l'année 2005+n.

  1. Déterminer u0 et u1.

  2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,98×un+0,2.

  3. On considère la suite vn définie, pour tout entier naturel n, par vn=un-10.

    1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 0,98. Préciser son premier terme.

    2. Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=31×0,98n+10.

    1. Calculer la limite de la suite un.

    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  4. À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005.

    1Variables
    2U est du type nombre
    3n est du type nombre entier
    4Début Algorithme
    5 U prend la valeur 41
    6 n prend la valeur 0
    7 Tant que (…… ) faire
    8   Début Tant que
    9U prend la valeur …
    10n prend la valeur n+1
    11  Fin Tant que
    12Afficher n
    13Fin Algorithme
    1. Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de l'algorithme

    2. L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Notations :

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième

Une agence Pôle Emploi étudie l'ensemble des demandeurs d'emploi selon deux critères, le sexe et l'expérience professionnelle.
Cette étude montre que :

partie a

On prélève au hasard la fiche d'un demandeur d'emploi de cette agence. On note :

  1. Préciser pS et pF¯S.

  2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Démontrer que pF¯S=0,084. Interpréter le résultat.

  4. La fiche prélevée est celle d'un demandeur d'emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.

  5. Sachant que la fiche prélevée est celle d'une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d'un demandeur d'emploi sans expérience.

partie b

La responsable de l'agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d'emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d'emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience.


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

partie a

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.
En 2015, l'opérateur Alpha possède 30 % du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l'opérateur Bravo.
On étudie l'évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l'un ou l'autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l'opérateur Alpha soit chez l'opérateur Bravo.
On estime que, chaque année :

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

  1. Dessiner ce graphe probabiliste.

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est : M=0,880,120,140,86.
On note pour tout entier naturel n :

On note Pn=anbn la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année 2015+n.

  1. Donner a0 et b0.

  2. Montrer qu'en 2018, il y aura environ 44,2 % des abonnés chez l'opérateur Alpha.

  3. Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l'ensemble des abonnés sur le long terme. On note P=xy l'état stable de la répartition des abonnés.

    1. Montrer que les nombres x et y sont solutions du système {0,12x-0,14y=0x+y=1.

    2. Résoudre le système précédent dans l'ensemble des réels.

    3. Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d'un grand nombre d'années. Arrondir les pourcentages à 0,1 %.

partie b

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l'approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.
Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.
L'opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.
Dans le graphe ci-dessous :

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G.

  2. Déterminer, en milliers d'euros, le coût de ce tracé.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 010 par fx=10,5+100e-x.
On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle 010.

  1. Montrer que, pour tout réel x dans l'intervalle 010, on a fx=100e-x0,5+100e-x2.

On note f la fonction dérivée seconde de f sur l'intervalle 010.
Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de fx : fx=100e-x100e-x-0,50,5+100e-x3.

    1. Montrer que, dans l'intervalle 010, l'inéquation 100e-x-0,50 est équivalente à l'inéquation x-ln0,005.

    2. En déduire le tableau de signes de la fonction f sur l'intervalle 010.

  1. On appelle 𝒞f la courbe représentative de f tracée dans un repère.
    Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe 𝒞f admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.

  2. En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave.

partie b

Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés ° C

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.
Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 ° C la température de l'année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction f de la partie A, une évolution de température possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.
La courbe représentative 𝒞f de la fonction est tracée ci-dessous, et I est son point d'inflexion.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer f10, en arrondissant le résultat au centième.

    2. En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.

    1. En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe 𝒞f. Arrondir le résultat à l'unité.

    2. Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.

  1. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction f.

    1. Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.

    2. Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.

  2. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5 ° C la température de l'année 1900.
    Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.




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