Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane 2017

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. A et B sont deux évènements d'une expérience aléatoire. On note B¯ l'évènement contraire de B. On sait que : PA=0,6, PB=0,5 et PAB=0,42. On peut affirmer que :

    a. PAB=0,3

    b. PAB=0,58

    c. PBA=0,84

    d. PAB¯=0,28

  2. Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle 05.

    a. L'espérance de cette loi X est 25

    b. pX>2=35

    c. pX2=35

    d. pX5=0

  3. Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de 100 mL. On admet que le volume contenu dans le flacon peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance 100 mL et d'écart type 2 mL.

    a. pY100=0,45

    b. pY>98=0,75

    c. p96Y1040,95

    d. pY1100,85

  4. Un article de journal affirme, qu'en France, il y a 16 % de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l'échantillon de la population française à étudier qui permettrait d'obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l'échantillon est :

    a. 30

    b. 64

    c. 100

    d. 400

  5. La fonction f est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite 𝒩01. La fonction g est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne μ=3 et d'écart-type σ=2. La représentation graphique de ces deux fonctions est :

    1. Courbes représentatives des fonction f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2. Courbes représentatives des fonction f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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    4. Courbes représentatives des fonction f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un particulier possède une piscine et décide de s'équiper d'un système automatique de remplissage pour tenir compte de l'évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu'il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d'eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de 2 m3 d'eau par jour.

Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient 75 m3.

Pour tout entier naturel n, on note un le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube (m3), n jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage. Ainsi, u0=75.

  1. Calculer u1 et u2.

  2. Justifier que la suite un n'est pas arithmétique.
    Est-elle géométrique ?

  3. Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1=0,96×un+2.

  4. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un-50.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme v0.

    2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+50.

    4. Déterminer la limite de la suite un et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  5. Si le volume d'eau dans la piscine est inférieur à 65 m3, le niveau de l'eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d'eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l'algorithme suivant :

    Variables :n est un nombre entier naturelL1
    u est un nombre réelL2
    Traitement :n prend la valeur 0L3
    u prend la valeur 75L4
    Tant que uL5
    u prend la valeur …L6
    n prend la valeur n+1L7
    Fin Tant queL8
    Sortie :Afficher nL9
    1. Recopier et compléter les lignes L5 et L6 de cet algorithme.

    2. Quel est le résultat affiché en sortie de cet algorithme ?

    3. Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Le graphe ci-dessous représente le plan d'un centre de vacances. Les arêtes représentent les allées et les sommets, les carrefours.
On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Le service d'entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour C, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles ? Justifier la réponse.

  2. Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.

  3. Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.

partie b

Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du centre ou à l'extérieur. On constate chaque jour que :

On note D l'état « Déjeuner au centre de vacances » et E l'évènement « Déjeuner à l'extérieur ».

  1. Construire un graphe modélisant cette situation.

  2. Écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique.

  3. Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxième jour ? Le cinquième jour ?

  4. L'état 0,50,5 est-il stable ?

  5. Peut-on affirmer qu'à terme, si les comportements des vacanciers restent les mêmes, 75 % des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?


exercice 3 ( 7 points ) commun à tous les candidats

La courbe 𝒞 ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle -410. On note f la fonction dérivée de f , et f sa dérivée seconde.
La tangente à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse -2 est parallèle à l'axe des abscisses.
Le domaine S grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses, la droite d'équation x=2 et la droite d'équation x=4.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Déterminer, en la justifiant, la valeur de f-2.

  2. Par une lecture graphique, quel semble être le signe de f4 ?

  3. Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire du domaine S grisé sur la figure.

partie b

La fonction f précédente est définie sur l'intervalle -410 par fx=x+4e-0,5x.

    1. Montrer que fx=-0,5x-1e-0,5x.

    2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle -410.

    3. Montrer que sur l'intervalle 16 l'équation fx=1,5 admet une unique solution.
      On notera α cette unique solution.

    4. Donner une valeur approchée à 10-2 de α.

  1. On admet que la dérivée seconde de f est définie par fx=0,25xe-0,5x.

    1. Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle -410.

    2. En déduire que la courbe 𝒞 admet un unique point d'inflexion I dont on calculera les coordonnées.

    1. On considère la fonction F définie par Fx=-2x-12e-0,5x. Comment peut-on montrer que F est une primitive de f sur l'intervalle -410 ? On ne demande pas d'effectuer cette vérification.

    2. Calculer S=24fxdx. On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.


exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 01 par fx=4+e-5x.
On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe 𝒞 représentative de la fonction f dans un repère du plan.
Le domaine 𝒟 hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe 𝒞, par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.

On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d'équation y=a, parallèle à l'axe des abscisses, selon l'exemple donné ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Justifier que la valeur a=3 ne convient pas.

  2. Déterminer à 0,1 près une valeur de a qui convienne.




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