Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2017

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

  1. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle 19 alors :

    a. p1<X<9=18

    b. p5<X<9=12

    c. p1<X<3=38

    d. p1<X<2=12

  2. Une enquête sanitaire a pour objectif d'estimer la proportion de personnes qui respectent le calendrier de vaccinations préconisé par le Haut Conseil de la Santé Publique. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude 0,01 au niveau de confiance 0,95 de cette proportion, il faut interroger :

    a. 200 personnes.

    b. 400 personnes.

    c. 10000 personnes.

    d. 40000 personnes.

  3. La solution de l'équation x23=92 est égale à :

    a. 4

    b. 1,2

    c. eln9223

    d. eln2392

  4. On considère la fonction g définie sur l'intervalle -1010 dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

    x-10-5310
    gx

    7

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    4

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -6

    On note I=-53gxdx. On peut affirmer que :

    a. -5I3

    b. 2I4

    c. 16I32

    d. 4I8


EXERCICE 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle -2020 par fx=-2x+30e0,2x-3.

    1. Montrer que fx=-0,4x+4e0,2x-3 pour tout réel x de l'intervalle -2020.

    2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle -2020.
      On précisera la valeur exacte du maximum de f.

    1. Montrer que, sur l'intervalle -2020, l'équation fx=-2 admet une solution unique α.

    2. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,1.

  1. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

    1Dériver -10x+200e0,2x-3
    -2x+30e0,2x-3
    2Dériver -2x+30e0,2x-3
    -0,4x+4e0,2x-3
    3Dériver -0,4x+4e0,2x-3
    -0,08x+0,4e0,2x-3

    Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel :

    1. Calculer la valeur exacte de 1015fxdx.

    2. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe et préciser l'abscisse du point d'inflexion.

partie b

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative Cf de la fonction f définie dans la partie A sur l'intervalle 010.
Le point B représente le départ de la nouvelle piste et le point A représente la station de ski où se trouve l'arrivée.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Le réel x représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et fx représente l'altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point M, le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point M. Par exemple, une pente de 15 % en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de 15100=0,15.

  1. On appelle dénivelé d'une piste de ski, la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée de cette piste.
    Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.

  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.

    • La piste sera classée noire, c'est à dire très difficile, si au moins une portion de la piste à une pente supérieure ou égale à 40 %.
    • La piste sera classée rouge, c'est à dire difficile, si au moins une portion de la piste à une pente strictement comprise entre 25 % et 40 % (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à 40 %).
    • Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à 25 % alors la piste sera classée bleue, c'est-à-dire facile.

    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive.
Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de 120 m2 au 1er janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de 10 % la superficie de terrain envahi l'année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d'une superficie de 4 m2.

  1. Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1er janvier 2018.

On modélise la situation par une suite unun représente la superficie de terrain en m2 envahi par la Renouée du Japon au 1er janvier de l'année 2017+n.
La suite un est donc définie par u0=120 et, pour tout entier naturel n, par un+1=0,9un+4.

  1. Le jardinier souhaite connaître l'année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1er janvier de l'année 2017.
    Recopier et compléter les lignes L1, L3, L4 et L7 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée.
    On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.

    L1U prend la valeur …
    L2N prend la valeur 0
    L3Tant que …
    L4U prend la valeur …
    L5N prend la valeur N+1
    L6Fin Tant que
    L7Afficher …
  2. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-40.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison q=0,9 et préciser le premier terme.

    2. Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.

    3. Justifier que un=80×0,9n+40 pour tout entier naturel n.

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation 80×0,9n+4060.

    2. En déduire l'année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier de l'année 2017.

  3. Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l'élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre deux candidats A et B.
Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d'avis.

Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d'adhérents et recueille leurs intentions de vote.
Il observe que l'évolution de l'état de l'opinion peut être modélisée de la façon suivante.
Chaque mois :

Au début de la campagne électorale, 65 % des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste (𝒢) de sommets A et B où :

Dans la suite de l'exercice, on note :

On note Pn=anbn l'état probabiliste correspondant aux intentions de vote le n-ième mois après le début de la campagne. On a donc P0=0,650,35.

    1. Dessiner le graphe probabiliste (𝒢) de sommets A et B.

    2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.

  1. Démontrer que P1=0,6280,372.

  2. On note P=ab l'état stable associé à ce graphe.

    1. Démontrer que les nombres a et b sont solutions du système {0,05a-0,03b=0a+b=1.

    2. Résoudre le système précédent.

    3. Interpréter dans le contexte de l'exercice la solution obtenue à la question 3. b.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a an+1=0,92an+0,03.

    2. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=an-0,375.
      Démontrer que la suite vn est une suite géométrique de raison q=0,92 et préciser le premier terme.

    3. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n et en déduire que : an=0,275×0,92n+0,375.

  3. La campagne électorale dure 11 mois. Si la modélisation de l'institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de 1 heure ou 2 heures.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Une étude statistique met en évidence que :

On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation. On note A, B, C, D et E les évènements suivants :

  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

  2. Calculer la probabilité pAE.

  3. Montrer que la probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à 0,39.

  4. Sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième.

  5. La base nautique pratique les tarifs suivants :

    1 heure2 heures
    Pédalo15 €25 €
    Kayak10 €16 €
    Bateau électrique35 €60 €

    En moyenne, 200 embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique.

partie b

Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième.

Les bateaux électriques sont équipés d'une batterie d'une autonomie moyenne de 500 minutes.
Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d'utilisation.
On note X la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d'un bateau, exprimée en minutes. On admet que X suit la loi normale d'espérance μ=500 et d'écart-type σ=10.

  1. À l'aide de la calculatrice, calculer p490<X<520.

  2. Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de 8 heures sans être rechargés.
    Déterminer la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée.

  3. Déterminer l'entier a tel que pX<a0,01.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.



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