Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2017

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -23. On note f la fonction dérivée de cette fonction sur l'intervalle -23.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On dispose des renseignements suivants :

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Affirmation 1

Les nombres f-12 et f32 sont tous deux égaux à -1.

Affirmation 2

La courbe ci-contre représente la fonction f sur -23.Courbe représentative d'une fonction : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Affirmation 3

La fonction f est concave sur l'intervalle -23.

Affirmation 4

Sur -20, toute primitive de f est croissante.


exercice 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

En janvier 2015, le directeur d'un musée d'art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

Partie A

Le musée dispose d'un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d'entrée du musée ou commander un billet en ligne.
Trois types de visites sont proposés :

Le site internet permet uniquement d'acheter les billets individuels avec ou sans audioguide. Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d'entrée du musée.
Sur l'année 2015 l'enquête a révélé que :

On choisit au hasard un billet d'entrée au musée acheté en 2015. On considère les évènements suivants :

On rappelle que si E et F sont deux évènements, pE désigne la probabilité de l'évènement E et pFE désigne la probabilité de l'évènement E sachant que l'évènement F est réalisé. On note E¯ l'évènement contraire de E.

  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l'énoncé :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à 0,135.

  3. Montrer que pA=0,3385.

  4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée ?
    On arrondira le résultat au millième.

Partie B

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l'enquête a porté sur la durée d'une visite de ce musée. Il a été établi que la durée D d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne μ=90 et d'écart-type σ=15.

  1. Déterminer p90D120 puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  2. Le directeur précise qu'il augmentera la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée si plus de 2 % des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes par visite.
    Quelle sera alors sa décision ?

Partie C

Sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22 % des visiteurs sont de nationalité étrangère.
Sur un échantillon aléatoire de 2000 visiteurs du musée considéré précédemment, 490 visiteurs sont de nationalité étrangère.
Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter.


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.

Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires :

Source : D.G.M.I.C (Direction générale des médias et des industries culturelles)
Année20072008200920102011201220132014
Tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires10 98210 59610 27410 19710 1829 7939 3218 854

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

  1. Calculer le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.

Pour tout entier naturel n, on note Vn le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année 2007+n.
On modélise la situation en posant : V0=10 982 et, pour tout entier naturel n, Vn+1=0,96Vn+100.

  1. Calculer V1 puis V2.

  2. Soit Wn la suite définie, pour tout entier naturel n, par Wn=Vn-2500.

    1. Montrer que Wn est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.

    2. Déterminer l'expression de Wn en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, Vn=8482×0,96n+2500.

    1. Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017.

    2. Déterminer la limite de la suite Wn. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

    3. Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année 2007+n, pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur.


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une commune, l'école de musique propose des cours d'éveil musical.
En 2013, 20 % des enfants de la commune suivaient les cours d'éveil musical de cette école. Chaque année, 70 % des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante, et par ailleurs, 20 % des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y ajouter.

Pour tout entier naturel n, on note :

Ainsi, on a E0=0,20,8.

On choisit au hasard un enfant de la commune.

partie a

  1. Traduire la situation par un graphe probabiliste. On note :

    • C l'état « l'enfant est inscrit aux cours d'éveil musical ».
    • D l'état « l'enfant n'est pas inscrit aux cours d'éveil musical ».
  2. Déterminer la matrice A de transition, c'est-à-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel n, En+1=En×A.

  3. Déterminer E1 et E2.

  4. Déterminer l'état probabiliste stable en justifiant votre réponse. Interpréter les résultats.

partie b

  1. On rappelle que pour tout entier naturel n, on a cn+dn=1.
    Justifier que pour tout entier naturel n, on a cn+1=0,5cn+0,2.

On admet pour la suite de l'exercice que tout entier naturel n, cn=-0,2×0,5n+0,4.

  1. Montrer que la suite cn est croissante.

    1. Proposer un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année 2013+n, pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur.

    2. La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira-t-elle le seuil de 39 % ? Si oui, indiquer l'année en expliquant la démarche.

  2. Le directeur de cette école affirme que si ce modèle d'évolution reste valable, la proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical dépassera le seuil de 50 %.
    Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d'une enceinte est de 300 euros.
On note x le prix de vente en centaines d'euros d'une enceinte.
Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel x de l'intervalle 310, si le prix de vente d'une enceinte est x centaines d'euros, alors le nombre d'acheteurs est modélisé par fx=e-0,25x+5 Ainsi, fx est une approximation du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de x centaines d'euros. Par exemple, si le prix de vente d'une enceinte est fixé à 400 euros, le nombre d'acheteurs est approché par f4.

  1. Donner une valeur approximative du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de 400 euros.

On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.

  1. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte ?

On note gx la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise pour une prix de vente de x centaines d'euros par enceinte.

  1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle 310, gx=x-3e-0,25x+5.

  2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

    factoriser dériver x-3*exp-0,25x+5
    -x-74e-0,25x+5
    1. En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle 310.

    2. Pour quel prix de vente unitaire l'entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale ? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l'euro près.

  3. Soit G la fonction telle que Gx=-4x-4e-0,25x+5 pour tout réel x de 310.

    1. Montrer que G est une primitive de la fonction g.

    2. On pose I=310gxdx. Déterminer la valeur exacte de I.



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