Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2017

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 150$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 45$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
Pour tout entier n on a $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 45$ d'où : $\begin{matrix} u_{1} = 0,8 u_{0} + 45 & soit & u_{1} = 0,8 \times 150 + 45 = 165 \\ u_{2} = 0,8 u_{1} + 45 & soit & u_{2} = 0,8 \times 165 + 45 = 177 \end{matrix}$
Ainsi, $u_{1} = 165$ et $u_{2} = 177$
Voici deux propositions d'algorithmes :
$U \leftarrow 150$
$N \leftarrow 0$
$U \leftarrow 150$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U ⩾ 220$
$U \leftarrow 0,8 \times U + 45$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
Tant que $U < 220$
$U \leftarrow 0,8 \times U + 45$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
Algorithme 1 Algorithme 2
1. Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel n tel que $u_{n} ⩾ 220$ .
  Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.
  L'algorithme 1 ne convient pas car la condition $U ⩾ 220$ est fausse dès l'initialisation par conséquent, la boucle Tant que ne sera pas exécutée et on obtient à la fin de l'exécution de cet algorithme $N = 0$ .
  L'algorithme 2 permet de calculer le plus petit entier naturel n tel que $u_{n} ⩾ 220$ .
2. Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
  On programme l'algorithme sur la calculatrice :
  la valeur affichée par l'algorithme 2 est 13.
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par : $v_{n} = u_{n} - 225$ .
1. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 225 \\ = & 0,8 u_{n} + 45 - 225 \\ = & 0,8 u_{n} - 180 \\ = & 0,8 \times (u_{n} - 225) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$ dont le premier terme $v_{0} = 150 - 225 = - 75$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 225 - 75 \times {0,8}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$ dont le premier terme $v_{0} = - 75$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = - 75 \times {0,8}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 225 \Leftrightarrow u_{n} = 225 + v_{n}$ on en déduit que :
  $u_{n} = 225 - 75 \times {0,8}^{n}$ pour tout entier naturel n.
Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.
On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :
- 20 % des participants ne reviennent pas l'année suivante ;
- 45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.
La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250.
Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
La situation est modélisée par la suite $(u_{n})$ . Cherchons les solutions éventuelles de l'inéquation $\begin{array}{rcll} u_{n} > 250 & \Leftrightarrow & 225 - 75 \times {0,8}^{n} > 250 \\ \Leftrightarrow & - 75 \times {0,8}^{n} > 25 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} < - \frac{1}{3} \end{array}$
Comme pour tout entier n, on a ${0,8}^{n} > 0$ on en déduit que l'inéquation ${0,8}^{n} < - \frac{1}{3}$ n'a pas de solution.
Selon ce modèle, le nombre de participants ne dépassera jamais 250. Les organisateurs ne refuseront pas des inscriptions dans les prochaines années.
Remarque
On peut répondre à cette question en étudiant la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = 225 - 75 \times {0,8}^{n}$ .
- Variations de la suite $(u_{n})$ :
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} - u_{n} & = & (225 - 75 \times {0,8}^{n + 1}) - (225 - 75 \times {0,8}^{n}) \\ = & - 75 \times {0,8}^{n + 1} + 75 \times {0,8}^{n} \\ = & 75 \times {0,8}^{n} \times (1 - 0,8) \\ = & 15 \times {0,8}^{n} \end{array}$
  Pour tout entier naturel n, on a ${0,8}^{n} > 0$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ . Par conséquent, la suite $(u_{n})$ est strictement croissante.
- Limite
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 225 - 75 \times {0,8}^{n} = 225$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 225$ .
Ainsi, la suite $(u_{n})$ est strictement croissante et converge vers 225 donc pour tout entier naturel n, $u_{n} < 225$ .

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