Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle .
Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation sur l'intervalle .
La droite d'équation coupe la courbe en deux points.
L'équation admet deux solutions et .
Donner le maximum de la fonction f sur l'intervalle et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
Avec la précision permise par le graphique, le maximum de la fonction f vaut environ 14,8 atteint pour .
La valeur de l'intégrale appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
La fonction f est positive donc l'intégrale est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré délimité par les droites d'équation , , l'axe des abscisses et la courbe .
L'aire de ce domaine peut être encadrée par l'aire des deux polygones déssinés en vert d'air respectives 19 et 24 d'où
La seule proposition qui convienne est donc la proposition b :
a. | b. | c. |
La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle d'expression :.
On rappelle que désigne la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que pour tout réel x de l'intervalle , .
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le signe de sur l'intervalle puis en déduire le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle.
Pour tout réel x, donc est du même signe que sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :
x | 0 | 1 | 7 | ||
+ | − | ||||
0 |
Calculer le maximum de la fonction f sur l'intervalle .
Le maximum de la fonction f est atteint pour il est égal à .
Justifier que l'équation admet deux solutions sur l'intervalle que l'on notera α et β avec .
La fonction f est dérivable donc continue d'après le tableau des variations, sur chacun des intervalles où la fonction est monotone, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . nous permet de conclure que l'équation admet une solution unique sur chacun de ces deux intervalles.
L'équation admet deux solutions et .
On admet que à près. Donner une valeur approchée de β à près.
À l'aide de la calculatrice, on trouve .
On considère la fonction F définie sur l'intervalle par :.
Justifier que F est une primitive de f sur l'intervalle .
F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle on a donc F est une primitive de f sur l'intervalle .
Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation , , l'axe des abscisses et la courbe .
D'après le tableau des variations de la fonction, la fonction f est positive sur l'intervalle . Par conséquent, l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation , , l'axe des abscisses et la courbe est égale à l'intégrale de la fonction f entre 1 et 3 :
L'aire du domaine plan délimité par les droites d'équation , , l'axe des abscisses et la courbe est égale à unités d'aire.
La fonction f étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de f centaines d'objets (f compris entre 0 et 7).
Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets.
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est :
Arrondi à l'euro près, la valeur moyenne du bénéfice lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets est de 10 778 euros.
L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros. Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
D'après les résultats des questions 2 et 3 nous pouvons déduire que :
L'entreprise devra vendre entre 36 et 216 objets pour que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros.
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