Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative 𝒞 d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;7].

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation f(x)=10 sur l'intervalle [0;7].

    La droite d'équation y=10 coupe la courbe 𝒞 en deux points.

    L'équation f(x)=10 admet deux solutions 0<x1<1 et 2<x2<3.


  2. Donner le maximum de la fonction f sur l'intervalle [0;7] et préciser la valeur en laquelle il est atteint.

    Avec la précision permise par le graphique, le maximum de la fonction f vaut environ 14,8 atteint pour x=1.


  3. La valeur de l'intégrale 13f(x)dx appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?

    La fonction f est positive donc l'intégrale 13f(x)dx est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré délimité par les droites d'équation x=1, x=3, l'axe des abscisses et la courbe 𝒞.

    L'aire de ce domaine peut être encadrée par l'aire des deux polygones déssinés en vert d'air respectives 19 et 24 d'où 19<13f(x)dx<24

    La seule proposition qui convienne est donc la proposition b :

     a. [9;17]

     b. [18;26]

     c. [27;35]

partie b

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;7] d'expression :f(x)=2xe-x+3.
On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

  1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [0;7], f(x)=(-2x+2)e-x+3.

    f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;7] : {u(x)=2x;u(x)=2v(x)=e-x+3;v(x)=-e-x+3

    Soit pour tout réel x de l'intervalle [0;7], f(x)=2e-x+3-2xe-x+3=(-2x+2)e-x+3

    Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;7] par f(x)=(-2x+2)e-x+3.


    1. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0;7] puis en déduire le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle.

      Pour tout réel x, e-x+3>0 donc f(x) est du même signe que (x-2) sur l'intervalle [0;7].

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

      x017
      f(x)+0||
      f(x)

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2e2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      14e-40,26


    2. Calculer le maximum de la fonction f sur l'intervalle [0;7].

      Le maximum de la fonction f est atteint pour x=1 il est égal à f(1)=2e2.


    1. Justifier que l'équation f(x)=10 admet deux solutions sur l'intervalle [0;7] que l'on notera α et β avec α<β.

      La fonction f est dérivable donc continue d'après le tableau des variations, sur chacun des intervalles où la fonction est monotone, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b]. nous permet de conclure que l'équation f(x)=10 admet une solution unique sur chacun de ces deux intervalles.

      L'équation f(x)=10 admet deux solutions α]0;1[ et β]1;7[.


    2. On admet que α0,36 à 10-2 près. Donner une valeur approchée de β à 10-2 près.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve β2,16.


  2. On considère la fonction F définie sur l'intervalle [0;7] par :F(x)=(-2x-2)e-x+3.

    1. Justifier que F est une primitive de f sur l'intervalle [0;7].

      F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : F=uv d'où F=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;7] : {u(x)=-2x-2;u(x)=-2v(x)=e-x+3;v(x)=-e-x+3

      Soit pour tout réel x de l'intervalle [0;7], F(x)=-2e-x+3-(-2x-2)e-x+3=-2e-x+3+2xe-x+3+2e-x+3=2xe-x+3

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [0;7] on a F(x)=f(x) donc F est une primitive de f sur l'intervalle [0;7].


    2. Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation x=1, x=3, l'axe des abscisses et la courbe 𝒞.

      D'après le tableau des variations de la fonction, la fonction f est positive sur l'intervalle [0;7]. Par conséquent, l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation x=1, x=3, l'axe des abscisses et la courbe 𝒞 est égale à l'intégrale de la fonction f entre 1 et 3 :

      13f(x)dx=F(3)-F(1)=(-8×e0)-(-4×e2)=4e2-8

      L'aire du domaine plan délimité par les droites d'équation x=1, x=3, l'axe des abscisses et la courbe 𝒞 est égale à (4e2-8) unités d'aire.


  3. La fonction f étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de f centaines d'objets (f compris entre 0 et 7).

    1. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets.

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;7] est :13-1×13f(x)dx=4e2-82=2e2-410,778

      Arrondi à l'euro près, la valeur moyenne du bénéfice lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets est de 10 778 euros.


    2. L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros. Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.

      D'après les résultats des questions 2 et 3 nous pouvons déduire que :f(x)>10x]α;β[

      L'entreprise devra vendre entre 36 et 216 objets pour que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros.



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