contrôle du 27 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

1. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1<2x$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1<2x& \iff & {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+1<0\end{array}$$

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+1$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $b=-2$ et $c=1$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\times 1=2\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}}=2-\sqrt{2}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}}=2+\sqrt{2}\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+1$ :

   x	$-\infty$		$2-\sqrt{2}$		$2+\sqrt{2}$		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+1<0$ est $S=\left]2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right[$.

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2. $3x-1-{\displaystyle \frac{5}{1-x}}⩽0$.

   Le quotient ${\displaystyle \frac{5}{1-x}}$ est défini pour tout réel $x\ne 1$

   Pour tout réel $x\ne 1$, $$\begin{array}{lll}3x-1-{\displaystyle \frac{5}{1-x}}⩽0& \iff & {\displaystyle \frac{\left(3x-1\right)\left(1-x\right)-5}{1-x}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3x-3x^2-1+x-5}{1-x}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-3x^2+4x-6}{1-x}}⩽0\end{array}$$

   Le polynôme du second degré $-3x^2+4x-6$ avec $a=-3$, $b=4$ et $c=-6$ est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\mathrm{\Delta }=4^2-4\times \left(-3\right)\times \left(-6\right)=-56$$

   $\mathrm{\Delta }<0$ donc pour tout réel x, $-3x^2+4x-6<0$.

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{-x^2+5x-4}{2-x}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		1		$+\infty$
   $-3x^2+4x-6$		−	$|$	−
   $1-x$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   ${\displaystyle \frac{-x^2+5x-4}{2-x}}$		−	$\left|\right|$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation $3x-1-{\displaystyle \frac{5}{1-x}}⩽0$ est $S=\left]-\infty ;1\right[$.

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