contrôle du 27 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise fabrique des badges. Chaque jour le bénéfice en euros qu'elle réalise est modélisé par :$$B\left(x\right)=-x^2+90x-225$$ où x est le nombre de centaines de badges vendus.

1. Donner le tableau de variations de la fonction bénéfice B.

   B est une fonction polynôme du second degré avec $a=-1$ donc B admet un maximum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $$x=-{\displaystyle \frac{90}{2\times \left(-1\right)}}=45$$

   Le maximum de la fonction B est : $$B\left(45\right)=-{45}^2+90\times 40-225=1800$$

   D'où le tableau des variations de de la fonction B :

   x	0		45		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			1800

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2. Quel est le bénéfice maximal quotidien ? A quelle quantité de badges correspond-t-il ?

   D'après le tableau de variations de la fonction bénéfice B :

   le bénéfice maximal estimé est de 1 800 € obtenu avec la vente de 4 500 badges.

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3. Quelle condition doit vérifier la quantité journalière de badges vendus pour que l'entreprise soit rentable ?

   L'entreprise est rentable pour x solution de l'inéquation $B\left(x\right)>0$.

   Étudions le signe du trinôme $B\left(x\right)=-x^2+90x-225$ avec $a=-1$, $b=90$ et $c=-225$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }={\left(90\right)}^2-4\times 225=7200& \text{d'où}& \sqrt{\mathrm{\Delta }}=60\sqrt{2}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-90-60\sqrt{2}}{2\times \left(-1\right)}}=45+30\sqrt{2}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-90+60\sqrt{2}}{2\times \left(-1\right)}}=45-30\sqrt{2}\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $B\left(x\right)$ :

   x	0		$45-30\sqrt{2}$		$45+30\sqrt{2}$		$+\infty$
   $B\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   Comme $45-30\sqrt{2}\approx \mathrm{2,574}$ et $45+30\sqrt{2}\approx \mathrm{87,426}$, on en déduit :

   l'entreprise est rentable pour une quantité journalière de badges vendus comprise entre 258 et 8 742 badges.

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