contrôles en première ES

contrôle du 27 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise fabrique des badges. Chaque jour le bénéfice en euros qu'elle réalise est modélisé par :B(x)=-x2+90x-225x est le nombre de centaines de badges vendus.

  1. Donner le tableau de variations de la fonction bénéfice B.

    B est une fonction polynôme du second degré avec a=-1 donc B admet un maximum atteint pour x=-b2a soit x=-902×(-1)=45

    Le maximum de la fonction B est : B(45)=-452+90×40-225=1800

    D'où le tableau des variations de de la fonction B :

    x0 45 +
    f(x) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1800

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  2. Quel est le bénéfice maximal quotidien ? A quelle quantité de badges correspond-t-il ?

    D'après le tableau de variations de la fonction bénéfice B :

    le bénéfice maximal estimé est de 1 800 € obtenu avec la vente de 4 500 badges.


  3. Quelle condition doit vérifier la quantité journalière de badges vendus pour que l'entreprise soit rentable ?

    L'entreprise est rentable pour x solution de l'inéquation B(x)>0.

    Étudions le signe du trinôme B(x)=-x2+90x-225 avec a=-1, b=90 et c=-225.

    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=(90)2-4×225=7200d'oùΔ=602

    Δ>0 donc le trinôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-90-6022×(-1)=45+302etx2=-b+Δ2aSoitx2=-90+6022×(-1)=45-302

    Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme B(x) :

    x0 45-302 45+302 +
    B(x) 0||+0|| 

    Comme 45-3022,574 et 45+30287,426, on en déduit :

    l'entreprise est rentable pour une quantité journalière de badges vendus comprise entre 258 et 8 742 badges.



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