contrôle du 27 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 3

La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+b$. Elle est représentée dans un repère orthonormal par la parabole P contenant les points $A\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$, $B\left(3;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ et $C\left({\displaystyle \frac{11}{2}};-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

1. À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels a, b, et c. En déduire l'équation de la parabole P.

   • Le point $A\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$ est un point de la parabole P, ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole d'où : ${\displaystyle \frac{9}{4}}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}b+c=1$.
   • Le point $B\left(3;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ est un point de la parabole P, ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole d'où : $9a+3b+c={\displaystyle \frac{5}{2}}$.
   • Le point $C\left({\displaystyle \frac{11}{2}};-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ est un point de la parabole P, ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole d'où : ${\displaystyle \frac{121}{4}}a+{\displaystyle \frac{11}{2}}b+c=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

   Ainsi, les réels a, b et c sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcr}{\displaystyle \frac{9}{4}}a-{\displaystyle \frac{3}{2}}b+c& =& 1\\ 9a+3b+c& =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ {\displaystyle \frac{121}{4}}a+{\displaystyle \frac{11}{2}}b+c& =& -{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcr}9a-6b+4c& =& 4\\ 9a+3b+c& =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ 121a+22b+4c& =& -10\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcrl}9a-6b+4c& =& 4& \\ 27a+18b& =& 6& L_2\leftarrow 4L_2-L_1\\ 112a+28b& =& -14& L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcr}9a-6b+4c& =& 4\\ 9a+6b& =& 2\\ 8a+2b& =& -1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcrl}9a-6b+4c& =& 4& \\ 9a+6b& =& 2& \\ 15a& =& -5& L_3\leftarrow 3L_3-L_2\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcr}a& =& -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ b& =& {\displaystyle \frac{5}{6}}\\ c& =& 3\end{array}\end{array}$$

   La parabole P a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{5x}{6}}+3$.

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2. 1. Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole.

      L'abscisse du sommet S de la parabole est $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{6}}}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$. L'ordonnée du point S est :$$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{5}{4}}+3={\displaystyle \frac{169}{48}}$$

      Les coordonnées du sommet S de la parabole sont $S\left({\displaystyle \frac{5}{4}};{\displaystyle \frac{169}{48}}\right)$.

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec l'axe des abscisses.

      Les abscisses des points d'intersection de la parabole P avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation du second degré $-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{5x}{6}}+3=0$ avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, $b={\displaystyle \frac{5}{6}}$ et $c=3$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2-4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\times 3={\displaystyle \frac{169}{36}}={\left({\displaystyle \frac{13}{6}}\right)}^2\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{13}{6}}}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}}={\displaystyle \frac{9}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{13}{6}}}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}}=-2\end{array}$$

      La parabole P coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées $\left(-2;0\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{9}{2}};0\right)$.

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3. 1. Dans le même repère, tracer la droite D d'équation : $y=-x+2$.

      La droite D passe par les points de coordonnées $\left(0;2\right)$ et $\left(2;0\right)$.

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : $-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{5x}{6}}+3⩾-x+2$. En donner une interprétation graphique.

      Pour tout réel x $$\begin{array}{lcl}-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{5x}{6}}+3⩾-x+2& \iff & -{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{11x}{6}}+1⩾0\end{array}$$

      Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{11x}{6}}+1$ avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, $b={\displaystyle \frac{11}{6}}$ et $c=1$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left({\displaystyle \frac{11}{6}}\right)}^2-4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\times 1={\displaystyle \frac{169}{36}}\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{11}{6}}-{\displaystyle \frac{13}{6}}}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}}=6\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{11}{6}}+{\displaystyle \frac{13}{6}}}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{11x}{6}}+1$ :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		6		$+\infty$
      $P\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      L'ensemble solution de l'inéquation $-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{5x}{6}}+3⩾-x+2$ est l'intervalle $I=\left[-{\displaystyle \frac{1}{2}};6\right]$. Sur cet intervalle, la parabole P est au dessus de la droite D.

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