contrôles en première ES

contrôle du 07 avril 2006

Corrigé de l'exercice 3

Soit f une fonction définie sur par fx=-23x3+1,5x2+2x-1. On note f sa fonction dérivée et 𝒞f sa courbe représentative.

  1. Calculer fx.

    Pour tout réel x, fx=-23×3×x2+1,5×2×x+2

    Ainsi f est la fonction définie sur par fx=-2x2+3x+2.


  2. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f '

    Étude du signe du polynôme -2x2+3x+2
    Δ=9+16=25 , le polynôme admet deux racines x1=-3-5-4=2 et x2=-3+5-4=-12.

    Le coefficient de x2 est négatif, on en déduit le signe de f ' ainsi que les variations de la fonction f, sur .

    D'autre part :f-12=-23×-123+1,5×-122+2×-12-1=-3724 et f2=-23×23+1,5×22+2×2-1=113

    D'où le tableau des variations de la fonction f

    x- -12 2 +
    Signe de fx 0||+0|| 
    Variations de f   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -3724

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    113

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1.

    Une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1, est donnée par la relation : y=f1(x1)+f1

    Or f1=-2×12+3+2=3

    et f1=-23×13+1,5×12+2-1=116

    D'où y=3x-1+116

    La tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1 a pour équation : y=3x-76.



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