contrôle du 07 avril 2006

Corrigé de l'exercice 3

Soit f une fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+\mathrm{1,5}{x}^2+2x-1$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée et ${𝒞}_f$ sa courbe représentative.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 3\times x^2+\mathrm{1,5}\times 2\times x+2$

   Ainsi $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=-2x^2+3x+2$.

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2. Étudier les variations de la fonction f.

   Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f '

   Étude du signe du polynôme $-2x^2+3x+2$
   $\text{Δ}=9+16=25$ , le polynôme admet deux racines $x_1={\displaystyle \frac{-3-5}{-4}}=2$ et $x_2={\displaystyle \frac{-3+5}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   Le coefficient de $x^2$ est négatif, on en déduit le signe de f ' ainsi que les variations de la fonction f, sur $ℝ$.

   D'autre part :$$f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+\mathrm{1,5}\times {\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-1=-{\displaystyle \frac{37}{24}}$$ et $$f\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 2^3+\mathrm{1,5}\times 2^2+2\times 2-1={\displaystyle \frac{11}{3}}$$

   D'où le tableau des variations de la fonction f

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f			$-{\displaystyle \frac{37}{24}}$		${\displaystyle \frac{11}{3}}$

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3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1, est donnée par la relation : $$y=f\prime \left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\prime \left(1\right)=-2\times 1^2+3+2=3$

   et $f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 1^3+\mathrm{1,5}\times 1^2+2-1={\displaystyle \frac{11}{6}}$

   D'où $y=3\left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{11}{6}}$

   La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation : $y=3x-{\displaystyle \frac{7}{6}}$.

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