contrôles en première ES

contrôle du 16 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $] - 2; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 2}$ . Déterminer les réels a, b et c tels que $f (x) = a x + b + \frac{c}{x + 2}$ .

Pour tout réel $x \neq - 2$ , $\begin{array}{l} a x + b + \frac{c}{x + 2} & = & \frac{(a x + b) (x + 2) + c}{x + 2} \\ = & \frac{a x^{2} + 2 a x + b x + 2 b + c}{x + 2} \\ = & \frac{a x^{2} + (2 a + b) x + (2 b + c)}{x + 2} \end{array}$

Par idendification à $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 2}$ ; a, b et c sont solutions du système : $\begin{array}{l} {\begin{array}{rcl} a & = & 2 & terme en x^{2} \\ 2 a + b & = & 3 & terme en x \\ 2 b + c & = & - 5 & terme constant \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} a & = & 2 \\ b & = & - 1 \\ c & = & - 3 \end{array} \end{array}$

Ainsi, sur $] - 2; + \infty [$ , $f (x) = 2 x - 1 - \frac{3}{x + 2}$

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