contrôles en première ES

contrôle du 16 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 4

Les 1500 salariés d'une entreprise sont répartis dans trois services A, B et C. Pour rééquilibrer les effectifs des trois services, il a été décidé que :

10% des salariés du service B seront affectés au service C ;
5% des salariés du service A seront affectés au service B et 15% au service C.

Après cette restructuration, le nombre de salariés du service B a diminué de 15 personnes et 159 salariés ont été mutés dans le service C.

On note x, y et z le nombre de salariés respectifs des trois services A, B et C avant la restructuration.

Traduire les données par trois équations et établir que le triplet $(x; y; z)$ est solution du système ${\begin{array}{r} x + y + z & = & 1500 \\ 0,05 x - 0,1 y & = & - 15 \\ 0,15 x + 0,1 y & = & 159 \end{array}$
- L'entreprise compte 1500 salariés d'où $x + y + z = 1500$
- 10% des salariés du service B sont affectés au service C et 5% des salariés du service A sont affectés au service B. Après cette restructuration, le nombre de salariés du service B a diminué de 15 personnes d'où $0,05 x - 0,1 y = - 15$
- 10% des salariés du service B sont affectés au service C et 15% des salariés du service A sont affectés au service C. Après cette restructuration, le nombre de salariés du service C a augmenté de 159 personnes d'où $0,15 x + 0,1 y = 159$
Ainsi, les réels x, y et z sont solutions du système ${\begin{array}{r} x + y + z & = & 1500 \\ 0,05 x - 0,1 y & = & - 15 \\ 0,15 x + 0,1 y & = & 159 \end{array}$
Résoudre le système puis, calculer les effectifs de chaque service après la restructuration.
$\begin{array}{l} {\begin{array}{r} x + y + z & = & 1500 \\ 0,05 x - 0,1 y & = & - 15 \\ 0,15 x + 0,1 y & = & 159 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} x + y + z & = & 1500 \\ 0,05 x - 0,1 y & = & - 15 \\ 0,2 x & = & 144 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1500 \\ - 0,1 y & = & - 15 - 0,05 \times 720 \\ x & = & 720 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} z & = & 270 \\ y & = & 510 \\ x & = & 720 \end{matrix} \end{array}$
Le système admet pour solution le triplet $(720; 510; 270)$
Après la restucturation :
159 personnes sont affectées au service C d'où un effectif de $270 + 159 = 429$ le sercice B a perdu 15 personnes d'où un effectif de $510 - 15 = 495$ L'entreprise compte 1500 salariés d'où un effectif dans le service A de $1500 - 429 - 495 = 576$
Après la restucturation, les effectifs des trois services A, B et C sont respectivement de 576, 495 et 429 salariés.

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