contrôles en première ES

contrôle du 16 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 3

Soit P la parabole d'équation $y = a x^{2} + b x + c$ .
La parabole P passe par le point $A (1; 2)$ et coupe la droite d d'équation $y = - 2 x + 3$ en deux points d'abscisses respectives − 1 et 2.

Déterminer l'équation de la parabole P.

La parabole P passe par le point $A (1; 2)$ d'où a, b et c sont solutions de l'équation $a + b + c = 2$

La parabole P coupe la droite d d'équation $y = - 2 x + 3$ en deux points d'abscisses respectives − 1 et 2 d'où a, b et c vérifient les deux équations $\begin{matrix} a \times {(- 1)}^{2} + b \times (- 1) + c = - 2 \times (- 1) + 3 \Leftrightarrow a - b + c = 5 & et & a \times 2^{2} + b \times 2 + c = - 2 \times 2 + 3 \Leftrightarrow 4 a + 2 b + c = - 1 \end{matrix}$

Ainsi, les réels a, b et c sont solutions du système : $\begin{array}{l} {\begin{array}{rcr} a + b + c & = & 2 \\ a - b + c & = & 5 \\ 4 a + 2 b + c & = & - 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a + b + c & = & 2 \\ 2 b & = & - 3 \\ 3 a + b & = & - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} a & = & - \frac{1}{2} \\ b & = & - \frac{3}{2} \\ c & = & 4 \end{array} \end{array}$

Ainsi, la parabole P a pour équation $y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} + 4$

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