contrôle du 20 novembre 2009

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+3x+2}{x-1}}$.

1. Déterminer les réels a, b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-1}}$.

   Pour tout réel $x\ne 1$, $$\begin{array}{lll}ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-1}}& =& {\displaystyle \frac{\left(ax+b\right)\left(x-1\right)+c}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{a{x}^2-ax+bx-b+c}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{a{x}^2+\left(b-a\right)x+\left(c-b\right)}{x-1}}\end{array}$$

   Par idendification à $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+3x+2}{x-1}}$ , a, b et c sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcll}a& =& -2& \text{terme en }{x}^2\\ b-a& =& 3& \text{terme en }x\\ c-b& =& 2& \text{terme constant}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcr}a& =& -2\\ b& =& 1\\ c& =& 3\end{array}\end{array}$$

   Ainsi sur $\left]1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=-2x+1+{\displaystyle \frac{3}{x-2}}$

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2. On admet que la fonction u définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x-1}}$ est décroissante, en déduire les variations de la fonction f.

   Sur $\left]1;+\infty \right[$, f est la somme de la fonction u et de la fonction affine $v:x\mapsto -2x+1$.

   Or sur $\left]1;+\infty \right[$ les fonctions u et v sont décroissantes donc par somme f est décroissante.

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