contrôles en première ES

contrôle du 20 novembre 2009

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise fabrique une quantité x, comprise entre 0 et 1400, d'un certain article.
Le coût total de production f , exprimé en euros, est représenté par la courbe C dans un repère d'origine O du graphique ci-dessous.

1. Quel est le coût total de production de 500 articles ?
  L'ordonnée du point de la courbe C d'abscisse 500 est égale à 6250.
  Le coût total de production de 500 articles est de 6 250 euros.
2. Quelle quantité maximale d'articles est-il possible de produire pour un coût total inférieur à 20 000 €?
  Les abscisses des points de la courbe C situés au dessous de la droite d'équation $y = 20000$ sont dans l'intervalle $[0; 1200]$ .
  Pour un coût total inférieur à 20 000 €, le nombre maximum d'articles que l'entreprise peut fabriquer est égal à 1200.
Chaque article est vendu au prix de 17 € La recette occasionnée par la vente de x articles est notée $R (x)$ .
1. Exprimer $R (x)$ en fonction x et représenter la fonction R sur le graphique précédent.
  Le montant en euros de la recette est le produit de la quantité x vendue par le prix unitaire.
  La recette occasionnée exprimée en euros, par la vente de x articles est $R (x) = 17 x$
  La courbe représentative de la fonction R est la droite d'équation $y = 17 x$ passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $(1250; 21250)$
2. Déterminer graphiquement les quantités d'articles que l'on peut produire pour que le profit soit positif ou nul.
  L'entreprise réalise un profit pour des quantités x telles que la recette soit supérieure aux coûts de production.
  Graphiquement les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire, sont les abscisses des points de la droite représentative de la fonction recette situés au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total.
  L'entreprise est bénéficiaire, pour des quantités d'articles (fabriquées et vendues) comprises entre 200 et 1250 .
Le coût moyen g est donné sur l'intervalle $[0; 1400]$ par $g (x) = \frac{f (x)}{x}$
1. Sur le graphique, placer le point M d'abscisse 1000 situé sur la courbe C, puis tracer la droite (OM).
  Que représente le coefficient directeur de la droite (OM) ?
  Le coefficient directeur a de la droite (OM) est égal à $\frac{y_{M}}{x_{M}}$ . Soit $a = \frac{f (1000)}{1000}$
  Le coefficient directeur de la droite (OM) est égal au coût moyen d'un article pour une production de 1000 articles.
2. Estimer $g (1000)$ .
  $g (1000) = \frac{f (1000)}{1000} = \frac{15000}{1000} = 15$
  Pour une production de 1000 articles, le coût moyen d'un article est de 15 euros.
3. Pour quelle quantité, le coût moyen est-il minimal ?
  Graphiquement, le coût moyen de production est minimal pour un point M de la courbe (C) tel que le coefficient directeur de la droite (OM) soit le plus petit possible.
  Sur le graphique la quantité de produit qui permet d'obtenir un coût moyen minimal est de 500 articles ce qui correspond un coût moyen de $\frac{6250}{500} = 12,5$
  Le coût moyen minimum est de 12,5 € par article pour une production de 500 articles.
Du fait de la concurrence, l'entreprise doit baisser son prix de vente.
1. Quel est le prix de vente minimal de chaque article, si cette entreprise ne veut pas travailler à perte ?
  L'entreprise est certaine de vendre à perte si le prix de vente d'un article est inférieur à 12,5 €.
2. À quel taux de remise par rapport au prix de vente initial correspondrait ce nouveau prix de vente ?
  Soit t le pourcentage de la remise alors, $\begin{array}{l} \frac{t}{100} = \frac{17 - 12,5}{17} & \Leftrightarrow & t = \frac{17 - 12,5}{17} \times 100 \\ Soit & t \approx 26,47 \end{array}$
  L'entreprise est certaine de vendre à perte si la remise est supérieure à 26,47%.

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.