contrôles en seconde

contrôle du 30 janvier 2016

Sujet A : Corrigé de l'exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $𝒟$ .

La droite $𝒟$ passe par les points $A (- 2; 5)$ et $B (4; - 4)$ .
- méthode 1 :
  La droite $𝒟$ est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que les vecteurs $\vec{A B} (\begin{array}{r} 6 \\ - 9 \end{array})$ et $\vec{A M} (\begin{array}{r} x + 2 \\ y - 5 \end{array})$ sont colinéaires.
  La droite $𝒟$ est l'ensemble des points dont les coordonnées $(x; y)$ vérifient : $\begin{array}{rcl} 6 \times (y - 5) + 9 \times (x + 2) = 0 & \Leftrightarrow & 6 y - 30 = - 9 x - 18 \\ \Leftrightarrow & 6 y = - 9 x + 12 \\ \Leftrightarrow & y = - \frac{3}{2} x + 2 \end{array}$
  La droite $𝒟$ a pour équation $y = - \frac{3}{2} x + 2$ .
- méthode 2 :
  Les points A et B n'ont pas la même abscisse donc la droite $𝒟$ admet une équation de la forme $y = m x + p$ avec $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ . Soit $m = \frac{- 4 - 5}{4 + 2} = - \frac{3}{2}$
  Comme le point $A (- 2; 5)$ appartient à la droite $𝒟$ , on en déduit que $\begin{matrix} - \frac{3}{2} \times (- 2) + p = 5 & \Leftrightarrow & p = 2 \end{matrix}$
  La droite $𝒟$ a pour équation $y = - \frac{3}{2} x + 2$ .
La droite $𝒟$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u} (\begin{array}{r} - 4 \\ 3 \end{array})$ et passe par le point $C (3; - 5)$ .
Comme $\vec{u} (\begin{array}{r} - 4 \\ 3 \end{array})$ est un vecteur directeur de la droite $𝒟$ alors le vecteur $\vec{v} (\begin{array}{r} 1 \\ - \frac{3}{4} \end{array})$ est aussi un vecteur directeur de la droite $𝒟$ . La droite $𝒟$ a pour équation $y = - \frac{3}{4} x + p$ .
Or le point $C (3; - 5)$ appartient à la droite $𝒟$ , donc $\begin{matrix} - \frac{3}{4} \times 3 + p = - 5 & \Leftrightarrow & p = - \frac{11}{4} \end{matrix}$
La droite $𝒟$ a pour équation $y = - \frac{3}{4} x - \frac{11}{4}$ .
La droite $𝒟$ est parallèle à la droite d d'équation $y = 2 x - \frac{1}{2}$ et passe par le point $E (- 1; 2)$ .
La droite $𝒟$ est parallèle à la droite d d'équation $y = 2 x - \frac{1}{2}$ alors la droite $𝒟$ a pour coefficient directeur $m = 2$
Le point $E (- 1; 2)$ appartient à la droite $𝒟$ , donc $\begin{matrix} 2 \times (- 1) + p = 2 & \Leftrightarrow & p = 4 \end{matrix}$
La droite $𝒟$ a pour équation $y = 2 x + 4$ .

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