contrôle du 30 janvier 2016

Sujet A : Corrigé de l'exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère les points $A\left(-1;5\right)$, $B\left(-3;0\right)$ et $C\left(7;-2\right)$.

1. 1. Soit I le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées du point I.

      Les coordonnées $\left(x_I;y_I\right)$ du point I milieu du segment [BC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_I={\displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_I={\displaystyle \frac{7-3}{2}}=2\\ y_I={\displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_I={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1\end{array}$$

      Le point I a pour coordonnées $I\left(2;-1\right)$.

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   2. En déduire une équation de la médiane (AI) du triangle ABC.

      $\overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{r}3\\ -6\end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la médiane (AI) alors $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ -2\end{array}\right)$ est aussi un vecteur directeur de la droite (AI). La droite (AI) a pour équation $y=-2x+p$.

      Comme le point $A\left(-1;5\right)$ appartient à la droite (AI), on en déduit que $$\begin{array}{ccc}-2\times \left(-1\right)+p=5& \iff & p=3\end{array}$$

      La médiane (AI) a pour équation $y=-2x+3$.

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2. Soit G le point de coordonnées $\left(1;1\right)$.

   1. Le point G appartient-il à la droite (AI) ?

      $$-2\times 1+3=1$$

      Les coordonnées du point $G\left(1;1\right)$ vérifient l'équation de la droite (AI) donc G est un point de la médiane (AI).

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   2. Déterminer une équation de la droite (BG).

      $\overrightarrow{BG}\left(\begin{array}{r}4\\ 1\end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite (BG) alors $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r}1\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)$ est aussi un vecteur directeur de la droite (BG). La droite (BG) a pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{4}}x+p$.

      Comme le point G appartient à la droite (BG), on en déduit que $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{4}}+p=1& \iff & p={\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

      La droite (BG) a pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

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   3. Soit J le milieu du segment [AC]. Montrer que J est un point de la droite (BG).

      Les coordonnées $\left(x_J;y_J\right)$ du point J milieu du segment [AC] sont : $x_J={\displaystyle \frac{7-1}{2}}=3$ et $y_J={\displaystyle \frac{5-2}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Or $${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 3+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

      Les coordonnées du point $J\left(3;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ vérifient l'équation de la droite (BG) donc J est un point de la droite (BG).

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   4. Que représente le point G pour le triangle ABC ?

      Le milieu J du segment [AC] appartient à la droite (BG) donc (BG) est une médiane du triangle ABC.

      G est le point d'intersection des deux médianes (AI) et (BJ) donc G est le centre de gravité du triangle ABC.

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