contrôles en seconde

contrôle du 30 janvier 2016

Sujet B : Corrigé de l'exercice 4

ABCD est un rectangle tel que $A B = 12$ et $A D = 8$ .
M étant un point du segment [AD], on construit le quadrilatère MNPQ comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec $A M = A N = C P = C Q$ .

On pose $A M = x$ avec $x \in [0; 8]$ .

Exprimer en fonction de x l'aire du triangle MAN ainsi que l'aire du triangle NBP.
- $A M = A N = x$ donc l'aire du triangle rectangle MAN est égale à $\frac{x^{2}}{2}$ .
- $N B = 12 - x$ et $B P = 8 - x$ .
  L'aire du triangle rectangle NBP est égale à $\frac{(12 - x) (8 - x)}{2}$ .
On note $f (x)$ l'aire du quadrilatère MNPQ.
1. Exprimer en fonction de x l'aire du quadrilatère MNPQ.
  L'aire du quadrilatère MNPQ est égale à la différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des quatre triangles MAN, NBP, PCQ et QDM. D'où $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 12 \times 8 - (2 \times \frac{x^{2}}{2} + 2 \times \frac{(12 - x) (8 - x)}{2}) \\ = & 96 - (x^{2} + 96 - 12 x - 8 x + x^{2}) \\ = & - 2 x^{2} + 20 x \end{array}$
  L'aire du quadrilatère MNPQ est $f (x) = - 2 x^{2} + 20 x$ .
2. Donner le tableau de variation de la fonction f.
  f est la restriction d'une fonction polynôme du second degré avec $a = - 2$ , $b = 20$ et $c = 0$ .
  Comme $a < 0$ , la fonction f admet un maximum atteint pour $x = - \frac{b}{2 a}$ soit $x = \frac{20}{4} = 5$
  Nos avons : $f (0) = 0$ ; $f (5) = 50$ et $f (8) = 32$
  Le tableau des variations de la fonction f est :
  x 0 5 8
  $f (x)$
  0
  50
  32
3. En déduire la valeur maximale de l'aire du quadrilatère MNPQ.
  D'après le tableau de variation de la fonction f :
  l'aire maximale du quadrilatère MNPQ est 50.
La courbe $C_{f}$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. Par lecture graphique, déterminer les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit supérieure à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
  La courbe $C_{f}$ est au dessus de la droite d'équation $y = 48$ sur l'intervalle $[4; 6]$ .
  L'aire du quadrilatère MNPQ est supérieure à la moitié de l'aire du rectangle ABCD pour tout point M du segment [AD] tel que la distance AM appartienne à l'intervalle $[4; 6]$ .
2. Justifier que pour tout réel x de l'intervalle $[0; 8]$ , $f (x) = 48 \Leftrightarrow - 2 \times [{(x - 5)}^{2} - 1] = 0$ .
  Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 8]$ : $\begin{array}{rcl} f (x) = 48 & \Leftrightarrow & - 2 x^{2} + 20 x - 48 = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \times (x^{2} - 10 x + 24) = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \times [{(x - 5)}^{2} - 25 + 24] = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \times [{(x - 5)}^{2} - 1] = 0 \end{array}$
  Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 8]$ , $f (x) = 48 \Leftrightarrow - 2 \times [{(x - 5)}^{2} - 1] = 0$ .
3. En déduire les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
  L'aire du quadrilatère MNPQ est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD pour x solution de l'équation $f (x) = 48$ . Soit $\begin{array}{rcl} - 2 \times [{(x - 5)}^{2} - 1] = 0 & \Leftrightarrow & - 2 (x - 5 - 1) (x - 5 + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 (x - 6) (x - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 6 ou x = 4 \end{array}$
  L'aire du quadrilatère MNPQ est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD pour un point M du segment [AD] tel que $A M = 4$ ou $A M = 6$ .

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x	0		5		8
$f (x)$	0		50		32