contrôles en seconde

contrôle du 30 janvier 2016

Sujet A : Corrigé de l'exercice 4

ABCD est un rectangle tel que $A B = 10$ et $A D = 6$ .
M étant un point du segment [AD], on construit le quadrilatère MNPQ comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec $A M = A N = C P = C Q$ .

On pose $A M = x$ avec $x \in [0; 6]$ .

Exprimer en fonction de x l'aire du triangle MAN ainsi que l'aire du triangle NBP.
- $A M = A N = x$ donc l'aire du triangle rectangle MAN est égale à $\frac{x^{2}}{2}$ .
- $N B = 10 - x$ et $B P = 6 - x$ .
  L'aire du triangle rectangle NBP est égale à $\frac{(10 - x) (6 - x)}{2}$ .
On note $f (x)$ l'aire du quadrilatère MNPQ.
1. Exprimer en fonction de x l'aire du quadrilatère MNPQ.
  L'aire du quadrilatère MNPQ est égale à la différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des quatre triangles MAN, NBP, PCQ et QDM. D'où $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 10 \times 6 - (2 \times \frac{x^{2}}{2} + 2 \times \frac{(10 - x) (6 - x)}{2}) \\ = & 60 - (x^{2} + 60 - 10 x - 6 x + x^{2}) \\ = & - 2 x^{2} + 16 x \end{array}$
  L'aire du quadrilatère MNPQ est $f (x) = - 2 x^{2} + 16 x$ .
2. Donner le tableau de variation de la fonction f.
  f est la restriction d'une fonction polynôme du second degré avec $a = - 2$ , $b = 16$ et $c = 0$ .
  Comme $a < 0$ , la fonction f admet un maximum atteint pour $x = - \frac{b}{2 a}$ soit $x = \frac{16}{4} = 4$
  Nos avons : $f (0) = 0$ ; $f (4) = 32$ et $f (6) = 24$
  Le tableau des variations de la fonction f est :
  x 0 4 6
  $f (x)$
  0
  32
  24
3. En déduire la valeur maximale de l'aire du quadrilatère MNPQ.
  D'après le tableau de variation de la fonction f :
  l'aire maximale du quadrilatère MNPQ est 32.
La courbe $C_{f}$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. Par lecture graphique, déterminer les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit supérieure à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
  La courbe $C_{f}$ est au dessus de la droite d'équation $y = 30$ sur l'intervalle $[3; 5]$ .
  L'aire du quadrilatère MNPQ est supérieure à la moitié de l'aire du rectangle ABCD pour tout point M du segment [AD] tel que la distance AM appartienne à l'intervalle $[3; 5]$ .
2. Justifier que pour tout réel x de l'intervalle $[0; 6]$ , $f (x) = 30 \Leftrightarrow - 2 \times [{(x - 4)}^{2} - 1] = 0$ .
  Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 6]$ : $\begin{array}{rcl} f (x) = 30 & \Leftrightarrow & - 2 x^{2} + 16 x - 30 = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \times (x^{2} - 8 x + 15) = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \times [{(x - 4)}^{2} - 16 + 15] = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \times [{(x - 4)}^{2} - 1] = 0 \end{array}$
  Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 6]$ , $f (x) = 30 \Leftrightarrow - 2 \times [{(x - 4)}^{2} - 1] = 0$ .
3. En déduire les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
  L'aire du quadrilatère MNPQ est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD pour x solution de l'équation $f (x) = 30$ . Soit $\begin{array}{rcl} - 2 \times [{(x - 4)}^{2} - 1] = 0 & \Leftrightarrow & - 2 (x - 4 - 1) (x - 4 + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 (x - 5) (x - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 5 ou x = 3 \end{array}$
  L'aire du quadrilatère MNPQ est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD pour un point M du segment [AD] tel que $A M = 3$ ou $A M = 5$ .

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x	0		4		6
$f (x)$	0		32		24