contrôle du 30 janvier 2016

Sujet B : Corrigé de l'exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère les points $A\left(-1;5\right)$, $B\left(7;-2\right)$ et $C\left(-3;0\right)$.

1. 1. Soit I le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées du point I.

      Les coordonnées $\left(x_I;y_I\right)$ du point I milieu du segment [BC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_I={\displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_I={\displaystyle \frac{7-3}{2}}=2\\ y_I={\displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_I={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1\end{array}$$

      Le point I a pour coordonnées $I\left(2;-1\right)$.

      ---

   2. En déduire une équation de la médiane (AI) du triangle ABC.

      $\overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{r}3\\ -6\end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la médiane (AI) alors $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ -2\end{array}\right)$ est aussi un vecteur directeur de la droite (AI). La droite (AI) a pour équation $y=-2x+p$.

      Comme le point $A\left(-1;5\right)$ appartient à la droite (AI), on en déduit que $$\begin{array}{ccc}-2\times \left(-1\right)+p=5& \iff & p=3\end{array}$$

      La médiane (AI) a pour équation $y=-2x+3$.

      ---

2. Soit G le point de coordonnées $\left(1;1\right)$.

   1. Le point G appartient-il à la droite (AI) ?

      $$-2\times 1+3=1$$

      Les coordonnées du point $G\left(1;1\right)$ vérifient l'équation de la droite (AI) donc G est un point de la médiane (AI).

      ---

   2. Déterminer une équation de la droite (BG).

      $\overrightarrow{BG}\left(\begin{array}{r}-6\\ 3\end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite (BG) alors $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r}1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$ est aussi un vecteur directeur de la droite (BG). La droite (BG) a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+p$.

      Comme le point G appartient à la droite (BG), on en déduit que $$\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+p=1& \iff & p={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      La droite (BG) a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      ---

   3. Soit J le milieu du segment [AC]. Montrer que J est un point de la droite (BG).

      Les coordonnées $\left(x_J;y_J\right)$ du point J milieu du segment [AC] sont : $x_J={\displaystyle \frac{-1-3}{2}}=-2$ et $y_J={\displaystyle \frac{5}{2}}$. Or $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-2\right)+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$$

      Les coordonnées du point $J\left(-2;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ vérifient l'équation de la droite (BG) donc J est un point de la droite (BG).

      ---

   4. Que représente le point G pour le triangle ABC ?

      Le milieu J du segment [AC] appartient à la droite (BG) donc (BG) est une médiane du triangle ABC.

      G est le point d'intersection des deux médianes (AI) et (BJ) donc G est le centre de gravité du triangle ABC.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.