contrôles en seconde

contrôle du 14 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 3

Soient f et g les fonctions définies sur $ℝ$ par $f (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ et $g (x) = {(3 x - 2)}^{2}$ .

Factoriser l'expression de $f (x) - g (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} f (x) - g (x) & = & {(2 x + 3)}^{2} - {(3 x - 2)}^{2} \\ = & [(2 x + 3) - (3 x - 2)] \times [(2 x + 3) + (3 x - 2)] \\ = & [2 x + 3 - 3 x + 2] \times [2 x + 3 + 3 x - 2] \\ = & (- x + 5) (5 x + 1) \end{array}$
Pour tout réel x, $f (x) - g (x) = (- x + 5) (5 x + 1)$ .
À l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f (x) - g (x)$ .
Étudions le signe du produit $(- x + 5) (5 x + 1)$ à l'aide d'un tableau de signes :
Pour tout réel x, $\begin{matrix} - x + 5 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ 5 \\ et & 5 x + 1 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩽ - \frac{1}{5} \end{matrix}$
x
$- \infty$ $- \frac{1}{5}$ 5 $+ \infty$
$- x + 5$ + $|$ + $0_{|}^{|}$ −
$5 x + 1$ − $0_{|}^{|}$ + $|$ +
$f (x) - g (x) = (- x + 5) (5 x + 1)$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
En déduire l'ensemble S des solutions de l'inéquation $f (x) ⩾ g (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} f (x) ⩾ g (x) & \Leftrightarrow & f (x) - g (x) ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & (- x + 5) (5 x + 1) ⩾ 0 \end{array}$
Soit d'après le tableau de la question précédente :
L'ensemble S des solutions de l'inéquation $f (x) ⩾ g (x)$ est l'intervalle $S = [- \frac{1}{5}; 5]$ .

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x	$- \infty$		$- \frac{1}{5}$		5		$+ \infty$
$- x + 5$		+	$\|$	+	$0_{\|}^{\|}$	−
$5 x + 1$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
$f (x) - g (x) = (- x + 5) (5 x + 1)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−