contrôles en seconde

contrôle du 14 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 4

ABCD est un trapèze de hauteur $h = 6$ avec $A B = 15$ et $C D = 7$ .

À tout point M du segment [AB], on associe le réel $x = A M$ .

On note f la fonction telle que le nombre $f (x)$ est égal à l'aire du trapèze MBCD.
1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?
  M est un point du segment [AB] donc $0 ⩽ A M ⩽ 15$ . Soit $x \in [0; 15]$ .
  La fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 15]$ .
2. Justifier que $f (x) = 66 - 3 x$ .
  L'aire du trapèze MBCD est égale à la différence entre l'aire du trapèze ABCD et l'aire du triangle ADM. D'où $\begin{array}{rcl} f (x) = \frac{(A B + C D) \times h}{2} - \frac{A M \times h}{2} & Soit & f (x) = \frac{(15 + 7) \times 6}{2} - \frac{x \times 6}{2} \\ \Leftrightarrow & f (x) = 66 - 3 x \end{array}$
  Ainsi, la fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 15]$ par $f (x) = 66 - 3 x$ .
3. Quel est le sens de variation de la fonction f ?
  $- 3 < 0$ donc la fonction affine définie par $x \mapsto - 3 x + 66$ est strictement décroissante.
  La fonction f est strictement décroissante.
4. Résoudre l'inéquation $f (x) ⩽ 36$ .
  $f (x) ⩽ 36 \Leftrightarrow 66 - 3 x ⩽ 36$ avec $x \in [0; 15]$ . Cherchons les solutions de l'inéquation : $\begin{array}{rcl} 66 - 3 x ⩽ 36 & \Leftrightarrow & - 3 x ⩽ 36 - 66 \\ \Leftrightarrow & - 3 x ⩽ - 30 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ 10 \end{array}$
  Comme $x \in [0; 15]$ , on en déduit que :
  l'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) ⩽ 36$ est l'intervalle $[10; 15]$ .
On note g la fonction telle que le nombre $g (x)$ est égal à l'aire du triangle MCD.
1. Quel est le sens de variation de la fonction g ?
  $\begin{array}{rcl} g (x) = \frac{C D \times h}{2} & Soit & g (x) = \frac{7 \times 6}{2} \\ \Leftrightarrow & g (x) = 21 \end{array}$
  La fonction g étant définie sur l'intervalle $[0; 15]$ par $g (x) = 21$ est constante.
2. Déterminer la position du point M pour que l'aire du trapèze MBCD soit égale au double de l'aire du triangle MCD.
  Cherchons les solutions sur l'intervalle $[0; 15]$ de l'équation $f (x) = 2 \times g (x)$ soit : $\begin{array}{rcl} 66 - 3 x = 2 \times 21 & \Leftrightarrow & - 3 x = 42 - 66 \\ \Leftrightarrow & - 3 x = - 24 \\ \Leftrightarrow & x = 8 \end{array}$
  L'aire du trapèze MBCD est égale au double de l'aire du triangle MCD pour la distance $A M = 8$ .

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