contrôles en seconde

contrôle du 24 mars 2017

Corrigé de l'exercice 3

partie a

Montrer que pour tout réel x, 2x2-x-1=2×[(x-14)2-916].

méthode 1méthode 2

Pour tout réel x, 2x2-x-1=2×[x2-12x-12]=2×[(x-14)2-116-12]=2×[(x-14)2-916]

Pour tout réel x, 2×[(x-14)2-916]=2×[x2-12x+116-916]=2×[x2-12x-12]=2x2-x-1

Ainsi, pour tout réel x, 2x2-x-1=2×[(x-14)2-916].


partie b

Soit f la fonction inverse définie pour tout réel x0 par f(x)=1x. On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.
L'hyperbole est tracée ci-dessous en annexe.

    1. Dans le même repère, tracer la droite 𝒟 d'équation y=2x-1.

      Hyperbole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Soient A le point d'intersection de la droite 𝒟 avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection de la droite 𝒟 avec l'axe des ordonnées.
      Calculer les coordonnées des points A et B.

      • Le point A d'intersection de la droite 𝒟 avec l'axe des abscisse a pour ordonnée 0. L'abscisse du point A est solution de l'équation 2x-1=0x=12

        Le point A a pour coordonnées (12;0).


      • La droite 𝒟 coupe l'axe des ordonnées au point B d'abscisse 0.

        Le point B a pour coordonnées (0;-1).


  1. La droite 𝒟 coupe l'hyperbole en deux points M et N. Calculer les coordonnées des points M et N.

    Les abscisses des points d'intersection de la droite 𝒟 avec l'hyperbole sont solutions de l'équation :2x-1=1x2x+1-1x=02x2-x-1x=02×[(x-14)2-916]x=02(x-14-34)(x-14+34)x=02(x-1)(x+12)x=0x=1  ou  x=-12

    L'inverse de 1 est égal à 1 et l'inverse de -12 est égal à -2.

    Les points M et N ont pour coordonnées (1;1) et (-12;-2).


  2. Vérifier que les segments [AB] et [MN] ont le même milieu.

    • Les coordonnées (x;y) du milieu du segment [AB] sont :x=xA+xB2Soitx=12+02=14y=yA+yB2Soity=0-22=-12

      Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (14;-12).

    • Les coordonnées (x;y) du milieu du segment [MN] sont :x=xM+xN2Soitx=1-122=14y=yM+yN2Soity=1-22=-12

      Le milieu du segment [MN] a pour coordonnées (14;-12).

    Ainsi, les segments [AB] et [MN] ont le même milieu.



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