contrôle du 24 mars 2017

Corrigé de l'exercice 3

partie a

Montrer que pour tout réel x, $3x^2+2x-1=3\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{9}}\right]$.

méthode 1	méthode 2
Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}3x^2+2x-1& =& 3\times \left[x^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]\\ & =& 3\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]\\ & =& 3\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{9}}\right]\end{array}$$	Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}3\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{9}}\right]& =& 3\times \left[x^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}\right]\\ & =& 3\times \left[x^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]\\ & =& 3x^2+2x-1\end{array}$$

Ainsi, pour tout réel x, $3x^2+2x-1=3\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{9}}\right]$.

---

partie b

Soit f la fonction inverse définie pour tout réel $x\ne 0$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. On note ℋ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.
L'hyperbole ℋ est tracée ci-dessous en annexe.

1. 1. Dans le même repère, tracer la droite 𝒟 d'équation $y=3x+2$.

   2. Soient A le point d'intersection de la droite 𝒟 avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection de la droite 𝒟 avec l'axe des ordonnées.
      Calculer les coordonnées des points A et B.

      • Le point A d'intersection de la droite 𝒟 avec l'axe des abscisse a pour ordonnée 0. L'abscisse du point A est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}3x+2=0& \iff & x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

        Le point A a pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}};0\right)$.

        ---

      • La droite 𝒟 coupe l'axe des ordonnées au point B d'abscisse 0.

        Le point B a pour coordonnées $\left(0;2\right)$.

        ---

2. La droite 𝒟 coupe l'hyperbole ℋ en deux points M et N. Calculer les coordonnées des points M et N.

   Les abscisses des points d'intersection de la droite 𝒟 avec l'hyperbole ℋ sont solutions de l'équation :$$\begin{array}{lll}3x+2={\displaystyle \frac{1}{x}}& \iff & 3x+2-{\displaystyle \frac{1}{x}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3x^2+2x-1}{x}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{9}}\right]}{x}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}{x}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3\left(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{x}}=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{ ou }x=-1\end{array}$$

   L'inverse de $-1$ est égal à $-1$ et l'inverse de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est égal à 3.

   Les points M et N ont pour coordonnées $\left(-1;-1\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{1}{3}};3\right)$.

   ---

3. Vérifier que les segments [AB] et [MN] ont le même milieu.

   • Les coordonnées $\left(x;y\right)$ du milieu du segment [AB] sont :$$\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}& \text{Soit}& x={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{2}{3}}+0}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ y={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}& \text{Soit}& y={\displaystyle \frac{0+2}{2}}=1\end{array}$$

     Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}};1\right)$.

   • Les coordonnées $\left(x;y\right)$ du milieu du segment [MN] sont :$$\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{x_M+x_N}{2}}& \text{Soit}& x={\displaystyle \frac{-1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ y={\displaystyle \frac{y_M+y_N}{2}}& \text{Soit}& y={\displaystyle \frac{-1+3}{2}}=1\end{array}$$

     Le milieu du segment [MN] a pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}};1\right)$.

   Ainsi, les segments [AB] et [MN] ont le même milieu.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.