contrôle du 20 mai 2017

Corrigé de l'exercice 2

1. Calculer $E=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times \sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)$.

   $$E=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times \sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$

   Ainsi, $E=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times \sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

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2. Le pentagone ABCDE est inscrit dans le cercle trigonométrique 𝒞.

   1. Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, à quels réels de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont associés les sommets de ce pentagone ?

      Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, le point C est l'image du réel $\pi$.

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      Le pentagone ABCDE est inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
      La longueur d'un arc de cercle entre deux sommets consécutifs du pentagone ABCDE est égale à : ${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$. On en déduit que :

      Le point B est l'image du réel $\pi -{\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$.

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      Le point A est l'image du réel $\pi -2\times {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$.

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      Le point E est l'image du réel $\pi -3\times {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$.

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      Le point D est l'image du réel $\pi -4\times {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=-{\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$.

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   2. On donne $\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$. Calculer la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$.

      ${\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)=1$. D'où $$\begin{array}{rcl}{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\right)}^2=1& \iff & {\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)=1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\right)}^2\\ & \iff & {\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)=1-{\displaystyle \frac{10+2\sqrt{5}}{16}}\\ & \iff & {\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{6-2\sqrt{5}}{16}}\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\in \left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ alors, $-1⩽\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}⩽0$.

      Donc $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4}}$

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      remarque :

      $$\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}}{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$$

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