contrôle du 20 mai 2017

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x-1$.

1. 1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

      f est une fonction polynôme du second degré avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $b=3$ et $c=-1$. Comme $a<0$, la fonction f admet un maximum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit :$$x=-{\displaystyle \frac{3}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}}=3$$ et $f\left(3\right)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}+9-1={\displaystyle \frac{7}{2}}$

      D'où le tableau des variations de de la fonction f :

      x	$-\infty$		3		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			3,5

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   2. La proposition « Si $-4⩽x⩽4$ alors $-21⩽f\left(x\right)⩽3$ » est-elle vraie ou fausse ?

      $3\in \left[-4;4\right]$ et $f\left(3\right)={\displaystyle \frac{7}{2}}$ donc la proposition « Si $-4⩽x⩽4$ alors $-21⩽f\left(x\right)⩽3$ » est fausse.

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2. Soit a un réel.

   1. Exprimer en fonction du réel a, les expressions $f\left(3-a\right)$ et $f\left(3+a\right)$.

      • $f\left(3-a\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left(3-a\right)}^2+3\times \left(3-a\right)-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(a^2-6a+9\right)+9-3a-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+{\displaystyle \frac{7}{2}}$

      • $f\left(3+a\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left(3+a\right)}^2+3\times \left(3+a\right)-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(a^2+6a+9\right)+9+3a-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+{\displaystyle \frac{7}{2}}$

      Ainsi, pour tout réel a, $f\left(3-a\right)=f\left(3+a\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

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   2. Calculer $f\left(-2\right)$. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=-9$.

      • $f\left(-2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left(-2\right)}^2+3\times \left(-2\right)-1=-2-6-1=-9$.

        Ainsi, $f\left(-2\right)=-9$.

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      • Comme $f\left(-2\right)<{\displaystyle \frac{7}{2}}$ alors, l'équation $f\left(x\right)=-9$ admet une deuxième solution dans l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$.

        En remarquant que $-2=3-5$, d'après la question précédente on a :$$f\left(-2\right)=f\left(3-5\right)=f\left(3+5\right)=f\left(8\right)$$

        L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=-9$ est $S=\left\{-2;8\right\}$.

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